Volsdf Sampling algorithm
l论文作者开发一个算法计算抽样S方程中使用
I ( c , v ) ≈ I ^ S ( c , v ) = ∑ i = 1 m − 1 τ ^ i L i I(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{v}) \approx \hat{I}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{v})=\sum_{i=1}^{m-1} \hat{\tau}_{i} L_{i} I(c,v)≈I^S(c,v)=i=1∑m−1τ^iLi
首先是通过利用约束方程 :
max t ∈ [ 0 , M ] ∣ O ( t ) − O ^ ( t ) ∣ ≤ B T , β = max k ∈ [ n − 1 ] { exp ( − R ^ ( t k ) ) ( exp ( E ^ ( t k + 1 ) ) − 1 ) } , \max _{t \in[0, M]}|O(t)-\widehat{O}(t)| \leq B_{\mathcal{T}, \beta}=\max _{k \in[n-1]}\left\{\exp \left(-\widehat{R}\left(t_{k}\right)\right)\left(\exp \left(\widehat{E}\left(t_{k+1}\right)\right)-1\right)\right\}, t∈[0,M]max∣O(t)−O (t)∣≤BT,β=k∈[n−1]max{exp(−R (tk))(exp(E (tk+1))−1)}, 找到 样本 T \Tau T 这样 0 ^ \hat 0 0^:
O ^ ( t ) = 1 − e x p ( − R ^ ( t ) ) \widehat{O}(t)=1-exp(-\hat R(t)) O (t)=1−exp(−R^(t))
提供了一个 ϵ \epsilon ϵ近似真实的不透明度 O O O, 其中 ϵ \epsilon ϵ为超参数，即 B T , β < ϵ B_{T,\beta} < \epsilon BT,β<ϵ.第二,我们执行逆CDF抽样与 O ^ \hat O O^.
注意，从引理1可以得出，我们可以简单地选择足够大的n来保证 B T , β < ϵ B_{T,\beta} < \epsilon BT,β<ϵ。然而，这将导致过多的样本。相反，我们建议一个简单的算法来减少实际中所需的样本数量，并允许使用有限的样本点预算。简单地说，我们从均匀采样 T = T 0 T = T_0 T=T0开始，用引理2初始设置 β + > β \beta_+ > \beta β+>β满足 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ。然后，我们重复上采样 T T T以降低 β + \beta_+ β+，同时维持 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ。尽管这个简单的策略不能保证收敛，但我们发现 β + \beta_+ β+通常收敛于 β + \beta_+ β+（通常为85%，见图3），即使在不收敛的情况下，算法提供的 β + \beta_+ β+的不透明度近似仍然保持一个误差。算法如下所示（算法1）。
我们初始化 T T T(1号线算法1)均匀采样 T 0 = { t i } i = 1 n , t k = ( k − 1 ) M n − 1 , k ∈ [ n ] T_0 = \{t_i\} ^n_{i = 1}, t_k = \frac{(k−1)M}{n−1}, k∈[n] T0={ti}i=1n,tk=n−1(k−1)M,k∈[n](我们在我们的实现中使用n = 128)。给定这个采样，我们接下来根据引理2选取 β + > β \beta_+ > \beta β+>β，使得误差界满足要求的界（算法1中的第2行）。
为了降低 β + \beta_+ β+，同时保持 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ，将n个样本添加到T（算法1中的第4行），其中从每个间隔采样的点数与其当前误差界限成比例，公式：
m a x t ∈ [ t k , t k + 1 ] O ( t ) − O ^ ( t ) ∣ ≤ e x p ( E ^ ( t k + 1 ) − 1 ) \underset{t\in[t_k,t_{k+1}]}{max} O(t)-\widehat{O}(t)| \le exp(\hat E(t_{k+1})-1) t∈[tk,tk+1]maxO(t)−O (t)∣≤exp(E^(tk+1)−1)
假设T被充分上采样并满足 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ，我们将 β + \beta_+ β+向 β \beta β减小。因为算法没有停止，所以我们有 B T , β + ≥ ϵ B_{T,\beta_+} \ge \epsilon BT,β+≥ϵ。因此，中值定理蕴含着存在 β ∈ （ β ， β + ） \beta \in（\beta，\beta_+） β∈（β，β+）使得 B T , β + = ϵ B_{T,\beta_+} = \epsilon BT,β+=ϵ。我们使用二分法（最多10次迭代）来有效地搜索 β \beta β并相应地更新 β + \beta_+ β+（算法1中的第6行和第7行）。该算法迭代运行，直到 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ或达到最大迭代次数5。无论哪种方式，我们都使用最终的 T T T和 β + \beta_+ β+（保证提供 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ）来估计当前的不透明度 O O O，算法1中的第10行）。最后，我们使用逆变换采样返回一个新的m = 64个样本O的集合（算法1中的第11行）。图3显示了算法1的定性说明，β = 0.001和= 0.1（典型值）。
引理1.固定 β > 0 \beta > 0 β>0。对于任何 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，足够密集的采样T将提供 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ。其次，在样本数固定的情况下，我们可以设置 β \beta β，使得误差界小于： ϵ \epsilon ϵ.
引理2.固定 n > 0 n > 0 n>0。对于任何 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0，有一个足够大的 β \beta β满足 β ≥ α M 2 a ( n − 1 ) l o g ( 1 + ϵ ) \beta \ge \frac{\alpha M^2}{a(n-1)log(1+\epsilon)} β≥a(n−1)log(1+ϵ)αM2将提供 B T , β + ≤ ϵ B_{T,\beta_+} \le \epsilon BT,β+≤ϵ.