漫步微积分四——导数的定义

从几何上考虑，我们利用上一篇博文中的(8)，并丢掉下标 x0 ，就得到导数的基本定义：给定任意函数 f(x) ，导数 f′(x) 是新的函数，在点 x 处的值定义为

f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx(1)

在计算它的极限时， x 是固定的，而Δx 是变化的且接近于零。某些 x 存在极限值，某些却不存在。如果x=a 的极限值存在，就说函数在点 a 处可导。如果一个函数在其定义域内的每个点均可导，那么该函数是可导函数。这本书讨论的大部分函数都有此性质。

我们知道f′(x)可以像图1那样可视化，在图中 f(x) 是曲线上动点 P 的高度。然而，严格意义上讲，上述的导数定义不依赖于任何几何想法。图1构成一种几何解释，对理解导数来说非常重要，可以作为一种辅助手段，但它不是导数概念的基本组成部分。下一节我们将看到其他与几何无关的解释，那些解释跟几何解释同等重要。因此，我们必须将f′(x)作为纯粹的函数，并且需要认识到它有多种解释，但与其中任何之一都没有必要的联系。

图1

实际上形成导数 f′(x) 的过程称为给定函数 f(x) 的微分。这是微积分的基本运算，其他一切依赖于此。原则上，我们遵循（1）中指定的计算说明。这些说明可以整理为一个系统的过程，叫做三步法。

第一步：写出函数的差 f(x+Δx)−f(x) 。
第二步：除以 Δx 得到差商的形式

f(x+Δx)−f(x)Δx

大部分问题只涉及分子分母消去 Δx
第三步：估计 Δx→0 时的极限值。如果第二步已经完成了，那么该步可以作为简单的检查。

如果我们记得符号 f(x) 几乎包含了所有可以想象到的函数，那么我们将了解到这些步骤有时容易，有时很难。下面的示例只涉及初等代数，但即使如此，还是需要一点知识和技巧。

例1:对函数 f(x)=x3 求 f′(x)
第一步：

f(x+Δx)−f(x)====(x+Δx)3−x3x3+3x2Δx+3xΔx2+Δx3−x33x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx(3x+3xΔx+Δx2)

第二步：

f(x+Δx)−f(x)Δx=3x+3xΔx+Δx2

第三步：

f′(x)=limΔx→0[3x+3xΔx+Δx2]=3x2

例2:对函数 f(x)=1/x 求 f′(x)
第一步：

f(x+Δx)−f(x)==1(x+Δx)−1xx−(x+Δx)x(x+Δx)=−Δxx(x+Δx)

第二步：

f(x+Δx)−f(x)Δx=1x(x+Δx)

第三步：

f′(x)=limΔx→01x(x+Δx)=−1x2

让我们简要地分析一下例2的结果告诉了我们哪些关于函数 y=f(x)=1/x 图像的信息。首先，多所有 x≠0 f′(x)=−1/x2 为负值，而且由于这是切线的斜率，所有切线斜向右下方。更进一步，当 x 接近0 时， f′(x) 非常大，这意味着切线非常陡峭的;而当 x 很大时，f′(x) 非常小，所以切线是趋近水平的。通过测试图来验证我们的观察时很有启发意义的。一般来说，导数能够告诉我们许多函数的行为以及图像的性质，因为某点的导数给出的了该点的切线斜率。我们之后会更加充分的探讨这一主题。

例3:对函数 f(x)=x√ 求 f′(x)
第一步：

f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)−−−−−−−√−x√

第二步：

f(x+Δx)−f(x)Δx=(x+Δx)−−−−−−−√−x√Δx

这种形式不方便取消 Δx ，所以我们用一个巧妙的代数技巧去除分子中的平方根。分子和分母均乘以 x+Δx−−−−−−√+x√ ，这就相当于分数乘以 1 ，然后我们使用代数式(a−b)(a+b)=a2−b2 进行简化：

f(x+Δx)−f(x)Δx===x+Δx−−−−−−√−x√Δx⋅x+Δx−−−−−−√+x√x+Δx−−−−−−√+x√(x+Δx)−xΔx(x+Δx−−−−−−√+x√)1x+Δx−−−−−−√+x√

现在第三步就容易了。
第三步：

f′(x)=limΔx→01x+Δx−−−−−−√+x√=1x√+x√=12x√

符号的一些说明

微积分有个令人困惑的特点，就是几个不同的符号都可以用来表示微分，符号的使用带有某种偏好，通过环境来选择相应的符号。可能有人会问，使用这些符号有什么问题吗？事实是，问题很大，好的符号可以铺平道路，为我们做许多工作，而不好的类似于沼泽，很难轻松移动。

函数 f(x) 的导数上文表示为 f′(x) 。这个符号的优点在于强调 f(x) 的导数是关于 x 的另一个函数，它与给定函数以某种方式关联起来。如果我们给出的函数形式为y=f(x)，即用一个独立变量来表示，那么更短的符号 y′ 常用来代替 f′(x) 。

用这种符号来表示导数最大的缺点是它没有显示出 f(x) 得到 f′(x) 过程。从这个层面考虑莱布尼兹设计的符号更好，当然在其他方面也不错。

下面解释莱布尼兹的符号，对一个函数 y=f(x) ，它的差商形式

f(x+Δx)−f(x)Δx

可以记为

ΔyΔx

其中 Δy=f(x+Δx)−f(x) 。 Δy 不是 y 的一个任意变化量；而是x 变为 x+Δx 时特定的变化量。我们知道，差商可以理解为 y,x 变化量之比，就是割线的斜率(图2)。莱布尼兹写出差商的极限形式，也就是导数 f′(x) 。用这个符号表示的话，导数的定义就变为

dydx=limΔx→0ΔyΔx(2)

这就是图2中割线的斜率。 dy/dx 有两种不同的等价形式

df(x)dxddxf(x)

对第二种形式，可以将 d/dx 看作一个运算，对函数 f(x) 运算得到它的导数 f′(x)

ddxf(x)=f′(x)

图2

有一点非常重要，(2)中 dy/dx 是一个不可分割的符号。尽管书写形式上看可以，但是它不是平常意义上的两个变量 dy 与 dx 的商，因为他们没有定义，而且无法单独存在。在莱布尼兹的符号中，（2）中右边的极限形式象征性的用 Δ 来代替字母 d 。从这个角度来说，导数的符号dy/dx 提醒我们差商 Δy/Δx 以及 Δx→0 时计算极限的过程。从计算角度考虑也是有利的。当用莱布尼兹的符号时，许多基本的公式很容易被记住。

这个符号虽然好，但时也不完美。例如，加入我们要写出某个点的导数值，像 x=3 。因为 dy/dx 没有像 f′(x) 那样很方便的显示变量 x ，我们不得不用些难看的符号

(dydx)x=3dydx∣∣∣x=3

清晰明了的符号 f′(3) 明显比笨拙的表达时要占优势。

正如我们所看到的，上面的每种表达式各有各的优点。他们都广泛应用于科学和数学文献中，为了彻底熟悉他们，我们应该经常使用并且在他们之间自由的转换。