矩阵归纳Ⅰ

矩阵这一块非常重要，所以例题众多，方法很多，分为几部分来列出其中一些较为典型方法。

5.2.设
(1)求证：r(A)=r(B)=2
(2)求证：
补充：任给一个矩阵列满秩矩阵则

5.3.设是阶方阵，是阶方阵，是阶阵，证明有唯一解当且仅当，其中和分别是的任一特征根
提示：只需证无解即可，由为线性变换，那么单射得到满射，则必有解。

5.12证明：(1)设都是阶方阵，且证明：其中表示不超过的最大整数。
(2)都存在阶矩阵满足
提示：,

5.15已知阶实矩阵满足，证明：
提示：法一：可逆时显然，不可逆时0为的一个特征值，归纳从低阶到高阶
法二：利用

5.23证明：
(1)对任意矩阵矩阵方程总有解
(2)如果矩阵方程都有解，则矩阵方程有解

5.29设证明
提示：

5.35设是一个数域，方阵如果对于任意的都有证明：或可逆
提示：反证：若均不可逆，存在可逆矩阵使得

于是
若取
则

5.37设为实矩阵，若证明：可逆
提示：
法一：
由于是反对称矩阵，那么其特征值只能为或
纯虚数，证毕
法二：反证：不妨假设不可逆，那么必有非零解设为那么带入题设有

5.41证明：
提示：

5.42设是阶正交阵，证明：
提示：
法一：令
法二：考虑正交矩阵的相似标准形，由于存在可逆矩阵使得

例5.45设为阶实正交矩阵，证明：的充要条件为为偶数
提示：考虑的特征值