乘法的隐秘 - 创新者的边界2019-11-10

小学的乘法，你其实从来都不懂。

关键词：因式分解 异质简化
总字数：1224字 推荐阅读时间：6分钟

在《传播造新知 - 创新者的边界20191103》中提到：
「信息」是在特定的时间、特定的状态下对特定的人提供的有用的知识。

那什么才叫「有用的知识」呢？
比如，如果我们面对两道题：

1. A + B = 7，求A和B。
2. A x B = 7，求A和B。

如果「假设」A、B都是整数，则：
对于问题1而言，{A，B}可能是{0，7}、{1，6}、{2，5}、{3，4}、{4，3}、{5，2}、{6，1}、{7，0}、{8，-1}……
对于问题2而言，{A、B}可能是{1，7}、{7，1}、{-1，-7}、{-7，-1}；

如果「假设」A、B都是正整数，则：
对于问题1而言，{A，B}可能是{1，6}、{2，5}、{3，4}、{4，3}、{5，2}、{6，1}；对于问题2而言，{A，B}可能是{1，7}或{7，1}；

有没有看出什么呢？
显然，「乘法」好像是可以提供更多的「信息量」的。
如果我们用乘法的思路去理解有关系的事物，似乎总是能得到更多的「确定性」。

到这里，它似乎看起来并不是一特别了不起的结论。但是如果我们注意到：
加法的「前提假设」是所有被累加的对象，是「同质的」；
乘法的「前提假设」是所有被累加的对象，不必是同质的。
又会如何呢？

加法只能处理「同质要素」，它是一维的；
乘法可以处理「异质要素」，它是二维的。

「乘法」算法可以提供更多的信息，本质上是由我们注意到「异质性」的存在。
性质不同本身就是信息，只不过是在算式中它并没有被体现出来。

这也就意味着：当我们「判断」一种情形是否适用「乘法」来处理的时候，本身就需要关于事物性质的「信息」。正是这种信息被成功地捕捉和应用，才让我们有了通过乘法思维增强确定性的能力。

当我们确认一个问题可以用乘法处理的时候，绝大多数问题都是「已知输入」和「已知输出」，想让我们确认输入和输出之间的「关系」。

我们最早用乘法思路找答案，用的方法叫做「因式分解」。比如说最简单的方程：x^2 = 1，在求解的时候是先转化为（x+1）*（x-1）=0，然后再解得x=1或x=-1。

这种思路，常用在创新几乎总是无法绕过的两个基础方法中：

1. 控制变量法
2. 系统方法

控制变量法，强调的是单个变量变化足以引起结果的变化。在变化的过程中，由于「变量」是有「粒度」的，因此想要达到预期的结果，必须让变化「击穿阈值」。

系统方法，强调的是关注多个变量的协同，可以帮助我们在达到预期结果的过程中持续减少成本投入。
比如说z=（x-3）*y，不投入y始终不会产生结果，投入x不超过3的时候也不会产生结果，二者缺一不可。如果投入x和y的成本相同，那最高产出的投入方式就是投入的x总是比y多3个单位。

以上这些，正是物理机械论时代最常用的决策方法。

但事实上这个世界上绝大多数都是隐函数方程。事实上，当年经常虐待我们的各种几何学题目都是隐函数在作怪。

优美的隐函数

在《连续的妄念 - 创新者的边界20111027》中已经提到过，我们甚至连函数的图形方程都看不出来。

这个时候，我们又怎么办呢？下一期我为大家揭晓答案。

希望今天的内容，对你有所启发。
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我们明天见。