数学杂谈：n个n维向量夹角最小值的最大值
- 数学杂谈：n个n维向量夹角最小值的最大值
- 1. 问题描述
- 2. 问题解答
- 1. 答案
- 2. 具体解法
- 1. 极大性证明
- 2. 一种构造
- 3. 引申思考
1. 问题描述
给出任意 n n n个 n n n维向量（ n ≥ 2 n\geq 2 n≥2），求他们两两之间构成的 C n 2 C_n^2 Cn2个夹角当中的最小角度所能够取到的最大值是多少？
2. 问题解答
1. 答案
首先，我们先给出这道题的答案如下：
θ = a r c c o s ( − 1 n − 1 ) \theta = arccos(-\frac{1}{n-1}) θ=arccos(−n−11)
这个问题是我很早之前在听报告的时候听到的一个小的引理，当时主讲人轻描淡写地来了一句：这个引理的证明是简单的……
然后我就傻了，因为感觉一点都不简单啊，囧，搞得我连着几页PPT都没怎么听，在想这个问题，不过后来比较忙就一直也没时间去细想，还是我同学帮忙搞定了这道题，就直接把他的解法在这里稍微整理一下。
2. 具体解法
他的思路其实还是比较简单的，首先就是先证明 θ ≤ a r c c o s ( − 1 n − 1 ) \theta \leq arccos(-\frac{1}{n-1}) θ≤arccos(−n−11)，然后设法给出一种构造，证明这个 θ \theta θ角确实是可以取到的。
1. 极大性证明
我们不妨令 n n n个向量为单位向量，记作 a 1 ⃗ , ⋯ a n ⃗ \vec{a_1}, \cdots \vec{a_n} a1,⋯an。
令矩阵 A = ( a 1 ⃗ , ⋯ , a n ⃗ ) A = (\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_n}) A=(a1,⋯,an)，则显然有 A A T AA^T AAT为半正定矩阵，则有二次型 x A A T x ≥ 0 xAA^Tx \geq 0 xAATx≥0。
此时，我们令 x = ( 1 , ⋯ , 1 ) x=(1, \cdots, 1) x=(1,⋯,1)，即可得到不等式：
x A A T x = ∑ i , j ∑ k a i k a j k = ∑ i ≠ j ∑ k a i k a j k + n ≥ 0 \begin{aligned} xAA^Tx &= \sum\limits_{i, j}\sum\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \\ &= \sum\limits_{i \neq j}\sum\limits_{k}a_{ik}a_{jk} + n \\ &\geq 0 \end{aligned} xAATx=i,j∑k∑aikajk=i=j∑k∑aikajk+n≥0
故而有：
∑ i ≠ j ∑ k a i k a j k ≥ − n \sum\limits_{i \neq j}\sum\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \geq -n i=j∑k∑aikajk≥−n
进一步，我们即有：
n ( n − 1 ) ⋅ max i ≠ j ( ∑ k a i k a j k ) ≥ ∑ i ≠ j ∑ k a i k a j k ≥ − n n(n-1) \cdot \max\limits_{i \neq j}(\sum\limits_k a_{ik}a_{jk}) \geq \sum\limits_{i \neq j}\sum\limits_{k}a_{ik}a_{jk} \geq -n n(n−1)⋅i=jmax(k∑aikajk)≥i=j∑k∑aikajk≥−n
即：
max i ≠ j ( a i ⃗ ⋅ a j ⃗ ) ≥ − n n ( n − 1 ) = − 1 n − 1 \max\limits_{i \neq j}(\vec{a_i} \cdot \vec{a_j}) \geq -\frac{n}{n(n-1)} = -\frac{1}{n-1} i=jmax(ai⋅aj)≥−n(n−1)n=−n−11
亦即：
- 任意两个向量的cos距离的最大值不小于 − 1 n − 1 -\frac{1}{n-1} −n−11，且当且仅当任意两个向量的cos距离均相同时取到最小值。
2. 一种构造
下面，我们只需要给出一种具体的构造来证明 θ = arccos ( − 1 n − 1 ) \theta = \arccos(-\frac{1}{n-1}) θ=arccos(−n−11)可以取到即可。
我们令这 n n n个向量分别为：
[ − 1 n / ( n − 1 ) n ( n − 1 ) − 1 − 1 ( n − 1 ) ( n − 1 ) n / ( n − 1 ) n ( n − 1 ) n / ( n − 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) − 1 − 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ n / ( n − 1 ) n ( n − 1 ) n / ( n − 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) n / ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ⋯ − 1 − m ( n − 1 ) ( n − m ） ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ n / ( n − 1 ) n ( n − 1 ) n / ( n − 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) n / ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ⋯ n / ( n − 1 ) ( n − m ) ( n − m − 1 ) ⋯ − 1 − n − 2 ( n − 1 ) ⋅ 2 n / ( n − 1 ) n ( n − 1 ) n / ( n − 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) n / ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ⋯ n / ( n − 1 ) ( n − m ) ( n − m − 1 ) ⋯ n / ( n − 1 ) 2 ⋅ 1 0 ] \begin{bmatrix} -1 \\ \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{n(n-1)}} & -\sqrt{1-\frac{1}{(n-1)(n-1)}} \\ \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{n(n-1)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-1)(n-2)}} & -\sqrt{1-\frac{2}{(n-1)(n-2)}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{n(n-1)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \cdots & -\sqrt{1-\frac{m}{(n-1)(n-m）)}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots \\ \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{n(n-1)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \cdots & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-m)(n-m-1)}} & \cdots & -\sqrt{1-\frac{n-2}{(n-1)\cdot 2}} \\ \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{n(n-1)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-1)(n-2)}} & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-2)(n-3)}} & \cdots & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-m)(n-m-1)}} & \cdots & \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{2 \cdot 1}} & 0 \end{bmatrix} −1n(n−1)n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)⋮n(n−1)n/(n−1)⋮n(n−1)n/(n−1)n(n−1)n/(n−1)−1−(n−1)(n−1)1(n−1)(n−2)n/(n−1)⋮(n−1)(n−2)n/(n−1)⋮(n−1)(n−2)n/(n−1)(n−1)(n−2)n/(n−1)−1−(n−1)(n−2)2⋮(n−2)(n−3)n/(n−1)⋮(n−2)(n−3)n/(n−1)(n−2)(n−3)n/(n−1)⋱⋯⋯⋯−1−(n−1)(n−m）)m⋮(n−m)(n−m−1)n/(n−1)(n−m)(n−m−1)n/(n−1)⋱⋯⋯−1−(n−1)⋅2n−22⋅1n/(n−1)0
则易证，这 n n n个向量显然都是单位向量。
故而，对于任意两个向量 v i ⃗ , v j ⃗ \vec{v_i}, \vec{v_j} vi,vj， i , j ∈ { 0 , ⋯ , n − 1 } i,j \in \{0, \cdots, n-1\} i,j∈{0,⋯,n−1}，它们的cos距离就是他们的向量点积。
我们不妨设 i < j i < j i<j，则显然有：
v i ⃗ ⋅ v j ⃗ = ∑ k = 1 i n / ( n − 1 ) ( n − k + 1 ) ( n − k ) ⋅ n / ( n − 1 ) ( n − k + 1 ) ( n − k ) − n / ( n − 1 ) ( n − i ) ( n − i − 1 ) ⋅ 1 − i ( n − 1 ) ( n − i ) = n n − 1 ( 1 n − i − 1 n ) − n ( n − 1 ) ( n − i ) = − 1 n − 1 \begin{aligned} \vec{v_i} \cdot \vec{v_j} &= \sum\limits_{k=1}^{i}\frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-k+1)(n-k)}} \cdot \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-k+1)(n-k)}} - \frac{\sqrt{n/(n-1)}}{\sqrt{(n-i)(n-i-1)}} \cdot \sqrt{1-\frac{i}{(n-1)(n-i)}} \\ &= \frac{n}{n-1}(\frac{1}{n-i} - \frac{1}{n}) - \frac{n}{(n-1)(n-i)} \\ &= -\frac{1}{n-1} \end{aligned} vi⋅vj=k=1∑i(n−k+1)(n−k)n/(n−1)⋅(n−k+1)(n−k)n/(n−1)−(n−i)(n−i−1)n/(n−1)⋅1−(n−1)(n−i)i=n−1n(n−i1−n1)−(n−1)(n−i)n=−n−11
由此，我们得到，对于这 n n n个向量中的任意两个向量，他们的cos距离都是 − 1 n − 1 -\frac{1}{n-1} −n−11，故而构造成立。
综上，命题即可证毕。
3. 引申思考
其实我同学给到我这个解法之后，我还有点想将其引申到更一般地情况，也就是说 n n n个 m m m维向量夹角的最小值的最大值。
不过可惜的是，哪怕 m = 3 m=3 m=3的情况，一时半会也想不到答案，就先放弃了，有兴趣的朋友可以一起想想，感觉还是挺有意思的题目。