学习笔记——计算机组成原理第二章定点数的表示和运算

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一、定点数的表示

1.无符号数和有符号数的表示

• 无符号数：就是所有位数都是数值位。
• 有符号数：简单理解在机器中，数的正负号无法识别，取一位为符号位，其他为数值位。
  
  

2.机器数的定点表示

（1）定点小数

  就是纯小数，约定小数点位置在符号位之后，有效值部分最高位之前。数值有效部分也被称为尾数 。

x0	隐含小数点	x1	x~2	…	xn

• 当 x₀=0，x₁ ~ x_n 均为1 时，X为其中能表达的最大正数，真值为1-2^-n。
• 当 x₀=1，x₁ ~ x_n 均为1 时，X为其原码能表达的最小负数，真值为-（1-2^-n）。

（2）定点整数

  就是纯整数，约定小数点位置在有效数值部分最低位之后。

x0	x1	x~2	…	xn	隐含小数点

• 当 x₀=0，x₁ ~ x_n 均为1 时，X为其中能表达的最大正数，真值为2ⁿ-1。
• 当 x₀=1，x₁ ~ x_n 均为1 时，X为其原码能表达的最小负数数，真值为-（2ⁿ-1）。

3.原码、补码、反码、移码

（1）原码

• 直接十进制转二进制，前面加符号位即可。
• 原码的零有两种表示方式 一个是0000，另外一种是1000。

（2）补码

• 正数就等于原码
• 负数为符号位不变，数值位取反加一
• 负数补码数值位取反加一也可以求得原码
• 真值0的补码表示方式是唯一的

（3）反码

• 正数仍然等于原码
• 负数直接原码取反
• 真值0的反码不唯一

（4）移码

• 只有整数才有移码
• 移码就是补码的符号位取反，数值位不变
• 真值0的移码唯一
• 移码全为0时对应真值最小值-2ⁿ;移码全为1时，对应真值的最大值2ⁿ-1;
• 移码保持了数据原有大小，移码大则真值大。

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二、定点数的运算

1.移位运算

（1）逻辑移位

• 就是无符号数移位，原码、补码、反码左移右移都是添加0

（2）算术移位

• 正数，不论原码、补码、反码，左右移动都是添0
• 负数
  原码：左右移动都添加0
  补码：左移添加0，右移添加1
  反码：左右移动都是添加1

（3）循环移位

• 不丢数，循环移位

2.加减运算

• 主要在于补码的计算
• [A+B]_补=[A]_补+[B]_补
• [A-B]_补=[A]_补+[-B]_补
• [-B]_补=[B]_补连同符号位一起取反加1。

3.符号扩展

假设机器字长8位，A=15，B=-24求补码的符号扩展。

（1）先求原码，再求补码

• [A]_补=00001111。
• [B]_补=10011000取反加1=11101000。

（2）先求补码，再补位

• [A]_补=1111，正数补0，所以为00001111。
• [B]_补=11000取反加1=00111+1=01000，负数补0，所以为11101000。

4.溢出

小于最小数为下溢，大于最大值为上溢。两种情况会出现 溢出。

• 符号相同的数相加。
• 符号不同的数相减。

（1）采用采用一位符号位

• A_s、B_s分别为原来两个数的符号位，S为运算结果的符号位。
  V=A_sB_s $\overline{S}$+$\overline{A}$$\overline{B}$S。
• V=0,无溢出。
  V=1，数据溢出。

（2）采用采用一位符号位和数据为的进位

• 进位和符号位如果求异或的结果为0则不溢出，为1则溢出。

（3）双符号位

• 双符号位S₁S₂求异或。
• 为0无溢出，为1则溢出。
• S₁S₂=01为正溢出，S₁S₂=10为负溢出。

5.定点数乘法运算

（1）原码一位乘法

• 例如x=-0.1101，y=0.1011，求x乘y
  首先符号位和数值位分开算，符号为显然为1
    00.0000        00000 1011
    00.1101
    ———
    00.1101
    00.0110   右移   00110 1101 | 1
    00.1101
    ———
    01.0011
    00.1001   右移   01001 1110 | 11
    00.0100   右移   00100 1111 |011
    00.1101
    ———
    01.0001
    00.1000   右移   01000 1111 | 1011
  所以乘积为-0.10001111

• 最开始是从00000开始算

• 双符号运算

• 右移将除数全部移出为结束

• 运算次数和右移次数一样

（2）补码一位乘法（Booth算法）

• 例如x=-0.1101，y=0.1011，求x乘y
  需要带上符号运算
  [x]_补=11.0011   [y]_补=00.1011
  [-x]_补=00.1101
  乘数后面补0跟双符号数一样
    00.0000        010110
    00.1101
    ———
    00.1101
    00.0110   右移   101011| 0
    00.0000
    ———
    00.0110
    00.0011   右移   010101 | 10
    11.0011
    ———
    11.0110
    11.1011   右移   001010 | 110
    00.1101
    ———
    00.1000
    00.0100   右移   000101 | 0110
    11.0011
    ———
    11.0111
  所以[x*y]_补=11.01110001 得[xy]_原=11.10001111，xy=-0.10001111

• 出现符号位11的情况，右移补1

• 运算次数比右移次数多一

• • 到4个数字移出去的时候，再作一次运算结束。

• 看后两位，最后一位减前一位的值
  如果为0，则加0
  如果为1，则加[x]_补
  如果为-1，则加[-x]_补

6.定点数除法

• 计算$X/Y$

（1）不恢复余数除法

• 符号位单独求
• 采用单符号位
• 求$[|y|{]}_{补}和[-|y|{]}_{补}$
• 从被除数开始加，首先加$[-|y|{]}_{补}$
• 计算完之后，部分余数为负，商上0
  部分余数为正，商上1，然后商和部分余数都左移
• 结束标志：商的第一位移动到最高位

（2）补码除法运算（加减交替法）

• 符号位参加运算
• 双符号位
• 求$[y{]}_{补}和[-y{]}_{补}$
• 从被除数开始加，先看$[x{]}_{补}和[y{]}_{补}$是否异号，异号加$[y{]}_{补}同号加[-y{]}_{补}$
• 计算之后判断部分余数是否和$[y{]}_{补}$异号，异号加$[y{]}_{补}同号加[-y{]}_{补}$
• 然后部分余数和商左移
• 结束标志：商的第一位移动到符号位
• 商最后一位恒置1