中位数为一个排序数组的中间元素。假设对于一个排序数组A，数组长度为n，如果n为奇数，即中位数为A[(n-1)/2]；如果n为偶数，中位数则是(A[n/2]+A[n/2-1])/2。那么对于一个无序数组，应该如何寻找它的中位数？
1. 排序
一种很容易想到的方法就是对无序数组排序，然后可以直接得到该数组的中位数，时间复杂度为O(nlogn)。
# To obtain the median of an unsorted array;
# by quick sort;
def quickSort(array, start, end):
if len(array) < 2:
return
if start >= end:
return
left,right,pivot = start,end,array[start]
while left < right:
while left < right and array[right] >= pivot:
right -= 1
while left < right and array[left] <= pivot:
left += 1
array[left],array[right] = array[right],array[left]
array[start] = array[left]
array[left] = pivot
quickSort(array,start,left-1)
quickSort(array,left+1,end)
def findMedian(array) -> float:
if not array:
return None
length = len(array)
quickSort(array,0,length-1)
print(array)
if len(array)%2:
return array[(length-1)//2]
else:
return (array[length//2-1]+array[length//2])/2
Output:
findMedian([1,3,4,5,6,3]) #3.5
2. 利用快排思想寻找第K大的数（时间复杂度为O(n)）
我们可以使用快排思想快速找中位数，即先挑选一个数作为标准，以该元素为支点，将数组划分为两部分。这个问题可以抽象化为寻找第K大的数，快排每排完一轮之后左侧都是比他小的元素，右侧都是比他大的元素，那么支点的index（假设为N-1）即为第N大的数。当N == K，我们就找到了第K大的数；当N > K时， 第K大的数在[0,N-1]范围内；当N < K时，第K大的数在[N+1,n-1] (n为数组长度)范围内，利用递归即可找到第K大的数。
具体到寻找中位数，可分为两种情况：如果数组长度为奇数，即为寻找第(n+1//2)大的数；如果为偶数，则为分别寻找第(n//2+1)和第(n//2)大的数，然后求其平均值。具体程序如下：
def selectKthNum(array, k, start, end):
if not array or k < 0 or start >= end:
return
left,right,pivot = start,end,array[start]
while left < right:
while array[right] >= pivot and left < right:
right -= 1
while array[left] <= pivot and left < right:
left += 1
if left < right:
array[left],array[right] = array[right],array[left]
array[start] = array[left]
array[left] = pivot
if left == k:
return
elif left < k:
selectKthNum(array, k, left+1, end)
else:
selectKthNum(array, k, start, left-1)
def findMedian(array):
if len(array) <= 0:
return None
length = len(array)
if length%2:
selectKthNum(array, (length-1)//2, 0, length-1)
return array[(length-1)//2]
else:
selectKthNum(array,length//2-1, 0, length-1)
selectKthNum(array,length//2,length//2-1, length-1)
return (array[length//2]+array[length//2-1])/2
Output:
array = [1,5,3,4,6]
findMedian(array) # 4
array = [1,5,3,4,6,9]
findMedian(array) # 4.5
3. 最小堆（时间复杂度为O(nlog(k))）
我们可以构造一个最小堆，通过维护最小堆，即可得到无序数组的中位数。同样地，这个问题可以延伸至求数组的第K小的数。
- 取n//2+1个数建堆，将数组中剩余项与堆顶项进行比较，如果比堆顶项小，则直接丢弃；如果比堆顶项大，则入堆，然后重新调整堆的结构，更新堆顶元素，并推出堆中最小的数。
- 如果数组长度为奇数，堆顶项即为中位数；如果数组长度为偶数，则中位数为堆顶项以及推出第一个堆顶项之后的数之平均。
import heapq
def findMedian(array):
if not array:
return
if len(array) <= 1:
return array[0]
length = len(array)
minHeap = array[0:length//2+1]
heapq.heapify(minHeap)
i = length//2 + 1
while i < length:
heapq.heappushpop(minHeap,array[i])
i += 1
if length%2:
return minHeap[0]
else:
return (heapq.heappop(minHeap)+minHeap[0])/2
array = [2,1,3]
findMedian(array) # 2
array = [1,5,3,4,6,9]
findMedian(array) # 4.5