麻省理工线性代数---第四课：A的LU分解、第五课：转置-置换-向量空间R

第四课：A的LU分解

1. 2*2矩阵

U（upper）:上三角

L（lower）：下三角

A=L D E

2. 3*3矩阵

下面的积要比上面的积好

举个简单的例子：

描述：

（1）A=LU

    如果不存在行互换，消元步骤中需要乘以并减去那个数的倍数，消元乘数可以直接写入L中。

    可以在消元过程中先不考虑A：当完成A第二行中的消元，得到U中心的第二行，它是什么你记得住，同时得到了消元所用的乘数，但A是什么可以不管，因为A的信息都包含在LU中。

3. 一个n*n的矩阵A，需要多少次操作来消元？

（1）第一步中，得到第一行第一个元素下方的元素均匀0，剩下99*99。先进行乘法，然后进行减法，称为“一次”操作，共进行了大约100*100步骤（如果第一行变了，刚好是100*100次）。

（2）第二步中。第二行不变（当然第一行也不变），大约99*99次，也可以说99*98次。

（3）然后，98*98、97*97、96*96......1*1次。

（4）总次数：n^2+(n-1)^2+（n-2）^2+....+1^2约等于1/3n^3。

（5） 将方程右边的b加进来，需要多少步呢？b需要n^2次操作。

4. 行互换

(1)置换

    置换矩阵可以用来进行行互换。

    3*3置换矩阵有多少种？6P

逆=转置

4*4的矩阵呢？有多少种P，24种。

第五课：转置-置换-向量空间R

1.置换矩阵

L：下三角，U：上三角

    A=LU变成了PA=LU

    P（置换矩阵）：是行重新排列了的单位矩阵。

    置换矩阵共有多少种：n!=n(n-1)..(3)(2)(1)    （各行重新排列后所有可能的数目）

（1） 性质：

                逆=转置

                置换矩阵*其转置矩阵=单位阵

2.转置矩阵

3.对称矩阵

对称表示：转置以后该矩阵没有改变。

4.向量空间

（1）简要介绍

R^2（X-Y）称为一个平面；

R^3所有三维矢量组成的向量空间；

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.

R^n包含n为向量空间。

在进行一些运算时，也是在每种空间中进行。

向量空间必须是封闭的。

5.子空间

    例如：一条R^2内的直线。但不是所有直线都是子空间。

    向量必须通过子空间。

（1）R^2子空间的类型：

a).R^2它整个是一个向量空间。

b).穿过原点、两端无限延长的直线，记作L。

c).只包含零向量，记作Z。

（2）R^3子空间的类型：

a).R^3本身。

b).零向量，记作Z。

c).穿过原点的平面。

d).穿过原点的直线。