【20230227-0306】回溯算法小结

回溯法又叫回溯搜索法,是搜索的一种方式。

回溯法本质是穷举所有可能。如果想让回溯法高效一些,可以加一些剪枝操作。

回溯算法解决的经典问题:

  • 组合问题

  • 切割问题

  • 子集问题

  • 排列问题

  • 棋盘问题

如何去理解回溯法?

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构,回溯法解决的是在集合中递归查找子集,集合的大小构成树的宽度,递归的深度构成树的深度。

递归就要有终止条件,所以必然是一颗高度有限的树(N叉树)

回溯法模板

回溯三部曲

  • 回溯函数模板返回值以及参数(一般返回值都为void)

  • 回溯函数终止条件

if(终止条件){
    存放结果;
    return;
}
  • 回溯搜索的遍历过程

【20230227-0306】回溯算法小结_第1张图片
for(选择:本层集合中的元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){
    处理节点;
    backtracking(路径,选择列表);//递归
    回溯,撤销处理结果
}

组合问题

组合

在for循环中,i的结束条件可以优化,即:

列表剩余元素个数n-i+1>=所需元素个数k-path.size(),i<=n-k+path.size()+1。

组合总和

无重复数

可重复取

组合总和II

有重复数

不可重复取

组合总和III

无重复数

不可重复取

组合总和IV

无重复数

可重复取,且有排列(动规问题)

组合总和III

电话号码的字组合

数字与字母的映射问题可以用map,也可以用一个二维数组;

将char型转为int型,用char-‘0’的方式。

组合总和

可以重复使用元素,所以startIndex直接等于i就行了,不能直接每次都从0开始(这是排列的情况,会有重复出现);

组合总和II

集合中出现了重复元素,如果用之前的常规做法,会出现下面重复的情况,因此需要去重工作。

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组合总和IV

用回溯超时了,是动态规划问题。

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切割问题

分割回文串

  1. 如何切割的问题--确定分割点,例如abcdef,切割一个a后,在bvdef中再去切割第二段

  1. 如何判断为回文串--写一个bool型函数,专门用来判断

注意:截取子字符串substr(n,m)表示从下标n开始取m个元素

复原IP地址

  1. 如何切割的问题,确定切割点,插入.号,用已经插入.号的数量来判断是否结束

  1. 如何判断是否为有效IP地址

注意一些细节问题:

string中插入 insert 擦除erase,因为已经插入.号,因此下一层递归开始应该在i+2处

除了只有一个0以外,以0开头的数字不合法;大于255不合法;

    bool isValid(string& s,int left,int right){
        if(left>right)  return false;
        if(s[left]=='0'&&left!=right) return false;
        int x=stoi(s.substr(left,right-left+1));
        if(x<=255)  return true;
        else return false;
    }

子集问题

子集 (不含重复元素)

子集问题是找树的所有节点,而组合和分割问题都是收集树的叶子节点。

每个节点都需要保存,所以先存,再判断终止条件。

子集II (含有重复元素)

在同一层中不可选取相同元素,属于树层去重。

其实树层去重可以不用used数组,直接排序后判断相邻的数是否相同就可以完成树层去重。

注意:去重都需要排序!!!

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递增子序列

需要解决的问题:

  1. 去重问题,仍然是树层的去重,但是不能对数组进行排序了,于是用哈希表进行去重;

  1. 选取的是符合条件的每个节点,其实可以与之前的联系起来,相当于可以不用写终止条件;


排列问题

全排列(没有重复元素)

排列问题就不需要startIndex了,需要使用used数组,来确定该数字在path中已经被取过了。

全排列II(有重复元素)

使用used数组+哈希表进行树枝去重和数层去重。


棋盘问题

重新安排行程

因为我们只需要找到一个行程,就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线,所以返回值用bool

一个起飞机场对应多个降落机场、并且降落机场是有序的。所以映射后的降落机场用map去存。

map中所有元素都是pair,pair中第一个元素为key值(键值),第二个元素为value(实值)。

所有元素都会根据元素的键值自动排序。

unordered_map> targets

N皇后

N皇后因为每行只需要放一个皇后,所以不需要二维递归,按行进行递归即可。

  • 初始化棋盘,将所有位置都变为'.',vector chessBoard(n,string(n,'.'))

  • 判断位置是否合法,只考虑当前行以前的部分,因为Q依据行,从上而下填

  • 终止条件,row==n,代表最后一行n-1已经处理过了

解数独

二维递归

因为题目中说明仅有一个满足条件的解,找到了就可以返回,相当于找从根节点到叶子节点的符合条件的唯一路径,所以用bool返回值。

不需要写终止条件的原因我觉得是对于这块9*9的区域,已经用i,j的方法去遍历了,找完了都不符合就false,找到符合的就return true,如果9*9的格子遍历完了也没有返回false,于是返回true。

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