大学物理第十二章复习笔记：气体动理论

第十二章：气体动理论

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一、分子运动的基本概念

1.气体的状态参量

（1）压强P

①概念：

单位时间内大量气体分子对容器壁单位面积的垂直作用力（平均冲量）

②单位

帕斯卡（N·$m^{-2}$）

（2）体积V

气体活动的空间

（3）温度T

气体冷热程度的量度

分子热运动剧烈强度的量度
$$T=（t+273）K$$

2.平衡态和平衡过程

（1）平衡态

概念：一个系统，宏观量不随时间变化的状态称为平衡态

特点：热动平衡

宏观量：T,P稳定

微观量：分子热运动永不停息

（2）平衡过程

系统与外界有能量交换，任何一个实际的过程都是状态改变过程，都是非平衡的。

过程进行得非常缓慢并不计摩擦，此过程称为准静态过程，也称为平衡过程

总结：平衡过程是实际过程的近似处理，是理想化过程，优越性在于p-v图上明确地描写状态及其过程。

注意：p-v图上的任何一个点都对应着气体的一个平衡态
$$\begin{gathered} 一个点：一个平衡态 \\ 一条曲线：一个平衡过程 \end{gathered}$$

3.理想气体的状态方程

（1）理想气体满足三个实验定律

由三个定律总结出来气体的状态方程（克拉帕龙方程）
$$\begin{gathered} PV=\frac{m}{M_{mol}}RT \\ 其中：R=8.31J/mol\cdot K:摩尔气体常数 \\ 1mol气体上升1摄氏度吸收的热 \end{gathered}$$
克拉帕龙方程的另一种形式：
$$\begin{gathered} P=nkT \\ k=\frac{R}{N_0}=1.38\times 10^{-23}——波兹曼常数 \\ 其中N_0=6.02\times 10^{23},n=\frac{N}{V} \end{gathered}$$

二、气体分子热运动

1.气体热运动的特征

永恒的运动，频繁的碰撞

（1）运动：气体分子间距大，分子间作用力小，二次碰撞之间的运动可以看做惯性支配下的运动——匀速直线运动

（2）碰撞：扩散很慢——频繁碰撞的结果

（3）对于单个分子
$$\begin{gathered} 碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律 \\ 碰撞后：匀速直线运动 \end{gathered}$$
（4）对整体
$$在整体上遵循确定的统计规律$$

2.统计规律的特征

大量偶然事件组成整体，少量事件不服从统计规律

（1）统计平均值

计算方法同算数平均值相同，如年龄M：
$$\bar{M}=\frac{\sum 每个年龄\times 对应年龄的人数}{总人数}$$
统计平均值：分子速度：
$$\begin{gathered} {\bar{v}}_x=\frac{v_{x_1}\Delta N_1+v_{x_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_{x}dN}{N} \\ {\bar{v}}_y=\frac{v_{y_1}\Delta N_1+v_{y_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_{y}dN}{N} \\ {\bar{v}}_x^2=\frac{v_{x_1}^2\Delta N_1+v_{x_2^2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x^{2}dN}{N} \end{gathered}$$

（3）概率

在一定条件下，每个状态出现的次数$N_A$和测量总次数$N$（即所有状态出现的次数的总和）的比值是一个确定值，称为A状态出现的概率$W_A$
$$\begin{gathered} W_A=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{N_A}{N} \\ 对一个系统：\{\begin{array}{l}所有状态出现的总次数N\\ A状态出现的次数N_A\\ A状态出现的概率W_A\end{array} \end{gathered}$$

（4）归一化概念

所有可能出现的状态之和为1
$$\sum W_A=\frac{\sum N_i}{N}=1$$

三、理想气体的压强公式

1.理想气体的模型

（1）宏观模型

遵循三个实验规律

（2）微观模型

弹性小球碰撞模型

（3）统计假设

实验事实：平衡态时，容器中的气体分子数密度n均匀分布

假设：做热运动的分子向各个方向的运动机会相等，任何一个方向不必其他方向更占优势

所以：分子速度在各个方向分量的各种平均值相等
$$\begin{gathered} {\bar{v}}_x={\bar{v}}_y={\bar{v}}_z=0 \\ {\bar{v}}_x^2={\bar{v}}_y^2={\bar{v}}_z^2 \\ 又因为{\bar{v}}^2={\bar{v}}_x^2+{\bar{v}}_y^2+{\bar{v}}_z^2 \\ 所以{\bar{v}}_x^2={\bar{v}}_x^2={\bar{v}}_x^2=\frac{1}{3}{\bar{v}}^2 \end{gathered}$$
n:分子数密度$n=\frac{N}{V}$

（4）压强公式

$$p=\frac{1}{3}n\mu {\bar{v}}^2$$

设一个分子的平均动能：
$$\bar{\epsilon }=\frac{1}{2}\mu {\bar{v}}^2$$
那么
$$p=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon }$$

（5）理想气体温度公式

$$\{\begin{array}{l}p=nkT\\ p=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon }\end{array}\Rightarrow \bar{\epsilon }=\frac{3}{2}kT——温度公式$$

注意：

• 温度公式只对大量分子有意义，对单个少量分子无意义
• 分子平均动能只与分子的温度有关，而与分子的种类无关，T相同那么分子动能相同
• 均方根速率

$$\sqrt{{\bar{v}}^2}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

四、麦克斯韦速率分布定律

• 单个分子：速度偶然
• 少量分子：速度分布没有规律
• 大量分子：速度分布有规律

1.速率分布

分子总数N，分子速率可能取值$0\to \infty$

将速率分成许多相等的小区间$\Delta v$——速率区间

每个速率区间内的分子数:$\Delta N$

• 每个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是不同的
• 平衡态时，$\Delta v$内的分子数$\Delta N$占总分子数N的百分比$\frac{\Delta N}{N}$随速度变化的规律称为速度分布规律
• 此规律在无外场时称为麦克斯韦速率分布规律

2.麦氏速度分布律

麦氏速率分布律：

无外场，理想气体平衡态时，各单位速率区间内的分子数占总分子数的百分数按速率 v 分布的规律
$$\begin{gathered} N:分子总数 \\ dv:速率区间 \\ dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的) \\ \frac{dN}{N}:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比 \end{gathered}$$

（1）麦氏分布速率函数表达式

• $\frac{dN}{N}$和什么有关？

  • dv
  • v

• 写成等式：
  $$\frac{dN}{N}=f(v)\cdot dv$$

• $f(v)$的物理意义
  $$f(v)=\frac{dN}{dv}\frac{1}{N}$$
  表示在速率为v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

• 其他的一些变形的表示意义
  $$\begin{gathered} 1.\{\begin{array}{l}f(v)dv=\frac{dN}{N}:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比\\ Nf(v)dv=dN:在v到v+dv区间内的分子数\end{array} \\ 2.\{\begin{array}{l}在给定速率区间v_1到v_2内的分子百分比是多少？\frac{\Delta N}{N}={\int }_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ v_1到v_2内的分子数：\Delta N=N{\int }_{v_1}^{v_2}f(v)dv\end{array} \\ 3.在整个速率区间（0，+\infty ）内分子的百分数是多少?\sum _i\frac{\Delta N_i}{N}={\int }_0^{\infty }f(v)dv=1 \end{gathered}$$
  速度归一化条件

3.麦氏速率分布的应用

（1）最可几速率$v_p$

根据$f(v)$函数的极值求导得
$$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}}$$
可知，最可几速率与温度和气体的种类有关

（2）麦氏速率分布曲线

要注意的是温度升高，曲线最大值升高，但是还要注意归一化条件：曲线的面积不变

（3）利用$f(v)$求统计平均值

a.平均速率
$$\bar{v}={\int }_0^{\infty }vf(v)dv$$

b.均方根速率
$$\overline{v^2}={\int }_0^{\infty }{v}^{2}f(v)dv$$

c.平均动能
$$\bar{\epsilon }={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2}\mu v^{2}f(v)dv$$
总结，求某个和速率有关的统计平均值：M(v)
$$M(v)={\int }_0^{\infty }M(v)f(v)dv$$

五、能量按自由度均分原理

$$\{\begin{array}{l}单原子分子气体：热运动能量只有平动动能\\ 多原子分子气体：\{\begin{array}{l}平动动能\\ 转动动能\end{array}\end{array}$$

1.自由度：$i$

（1）确定一个物体空间位置的独立坐标数$i$

（2）自由运动质点的自由度

在空间自由运动：i=3

在平面自由运动：i=2

在直线自由运动：i=1

• 问

  • 质点在平面做圆运动，自由度i=?
  • 质点在空间做曲线运动，自由度？

• 钢棒的自由度

  • x,y,z
  • $\alpha ,\beta ,\gamma$
  • 3+3-1

• 刚体的自由度

  • 一般：平动+转动：6

• 理想气体分子的自由度

  • 单原子：3
  • 双原子：5
  • 多原子：6

2.能量按自由度均分原理

（1）定理内容

温度为 T 的平衡态时，气体分子的每个自由度上都有一份相同的平均动能，数值为：$\frac{1}{2}kT$

$\bar{\epsilon }=\frac{3}{2}kT$均匀分布在3个自由度上

（2）一个分子的平均总动能

由自由度判断$\bar{\epsilon }=\frac{i}{2}kT$
$$\{\begin{array}{l}单原子分子：\frac{3}{2}kT\\ 双原子分子：\frac{5}{2}kT\\ 多原子分子：3kT\end{array}$$

3.理想气体的内能E

$$\begin{gathered} 内能:\{\begin{array}{l}平动动能\\ 转动动能\end{array} \\ 1mol理想气体（自由度为i）的内能：\frac{i}{2}kT \\ 1mol单原子理想气体的内能：\frac{3}{2}kT \\ 质量为mkg，自由度为i的气体的内能：\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT \end{gathered}$$

总结得出：
$$E=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT$$

六、气体分子的碰撞和平均自由能

非平衡态$\to$平衡态：通过热运动的相互碰撞实现的

1.气体分子的碰撞机制

非接触性碰撞

（1）分子的有效直径

（2）分子的平均有效直径$\bar{d}$

约$10^{-10}$

2.平均碰撞频率，平均自由程

（1）碰撞频率Z

一个分子在1s内和其他分子的碰撞的次数

• 平均碰撞次数$\bar{z}$

（2）自由程$\lambda$

一个分子连续两次碰撞之间通过的路程

• 平均自由程$\bar{\lambda }$

（3）z和$\lambda$之间的关系

• 1s内通过的路程$\bar{v}$
• 1s内发生碰撞的次数$\bar{Z}$
• 每碰一次，路程被折成一段：$\bar{\lambda }=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}$

3.平均自由程和碰撞频率的统计规律

（1）平均碰撞次数：$\bar{Z}$
$$\begin{gathered} \bar{Z}=\pi {\bar{d}}^2\cdot \bar{u}n \\ 其中：\bar{Z}是平均碰撞次数 \\ \bar{d}是平均有效直径 \\ \bar{u}是a分子相对于其他分子的速率 \\ n是分子数密度 \end{gathered}$$
（2）表达式
$$\begin{gathered} \bar{u}=\sqrt{2}\bar{v} \\ \therefore \bar{Z}=\pi {\bar{d}}^2\cdot \sqrt{2}\bar{v}n \\ \bar{\lambda }=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi {\bar{d}}^2\cdot n} \end{gathered}$$
而在宏观状态下：
$$\begin{gathered} p=nkT,\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}} \\ \therefore \bar{Z}=\sqrt{2}\pi {\bar{d}}^2\cdot \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\frac{p}{kT} \\ \bar{\lambda }=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi {\bar{d}}^{2}p}——宏观表达式 \end{gathered}$$

• $\bar{v}$增大，自由程会变化吗？
  • 会，平均有效直径会变化

$$\begin{gathered} \bar{u}是a分子相对于其他分子的速率 \\ n是分子数密度 \end{gathered}$$