数据分析入门

 

作者：Yupeng Jiang

 

• 伦敦大学学院 数学系  (英国顶尖大学，2018 QS世界大学排名中位列世界第7名，英国第3名)
• email:yupeng.jiang.13atcl.ac.uk
• 2016年6月5日
• [课件来自] https://zhuanlan.zhihu.com/p/21332075

 

遇到的模块

• NumPy：多维数组的有效操作。 高效的数学函数。

• Matplotlib：可视化：2D和（最近）3D图

• SciPy：大型库实现各种数值算法，例如：           

  • 线性和非线性方程的解
  • 优化
  • 数值整合

• Sympy：符号计算（解析的 Analytical）

• Pandas：统计与数据分析（明天）

 

Numpy

Ndarray类型

　　NumPy提供了一种新的数据类型：ndarray（n维数组）。

• • 与元组和列表不同，数组只能存储相同类型的对象
  • 这使得数组上的操作比列表快得多; 此外，阵列占用的内存少于列表。 
  • 数组为列表索引机制提供强大的扩展。

　　

均匀间隔的数组

import numpy as np

# arange:range(start, stop, step)的所有三个参数
# 即起始值，结束值，步长都是可以用的 另外还有一个dtype参数，数据类型 
a=np.arange(5)
b=np.arange(10,100,20,dtype = float)
#linspace（start，stop，num）返回数字间隔均匀的样本，按区间[start，stop]计算：
c=np.linspace(0.,2.5,5)       

多维数组矩阵

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3] ,[4, 5, 6]])
print(a)
print(a.shape)#行，列数
print(a.ndim)#维度数
print(a.size)#元素个数

形状变化

import numpy as np

a = np .arange(0, 20, 1) #1维
b = a.reshape((4, 5))   #4行5列
c = a.reshape((20, 1))  #2维
d = a.reshape((-1, 4))  #-1：自动确定
e = a.shape =(4, 5) #改变a的形状

Size（N，），（N，1）和（1，N）不同之处

import numpy as np

a = np.array([1,2,3,4,5])
b = a.copy ()

c1 =  np.dot(np.transpose(a), b)#矩阵乘法dot
print(c1)
c = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print(c)
tran = c.transpose()#转置矩阵transpose
print(tran)

ax  =  np.reshape(a, (5,1))
bx  =  np.reshape(b, (1,5))
c = np.dot(ax, bx)
print(c)

填充数组

import numpy as np

a = np.zeros(3)
b = np.zeros((2, 2), complex)#complex 复数
c = np.ones((2, 3))
d = np.random.rand(2, 4)#rand: 0和1之间均匀分布的随机数
e = np.random.randn(2, 4)#randn: 均值为0，标准差为1的标准（高斯）正态分布

副本和视图

• 采用标准的list切片建其副本
• 采用一个NumPy数组的切片可以在原始数组中创建一个视图。 两个数组都指向相同的内存。因此，当修改视图时，原始数组也被修改：
• 为避免修改原始数组，可以制作一个切片的副本

import numpy as np

a = np.arange(5)
print(a)
b = a[2:];b[0] = 100
print(b)
print(a)
c = a[2:].copy();
c[0]=99
print(c)
print(a)

矩阵乘法

• 运算符 * 表示元素乘法，而不是矩阵乘法：
• 使用dot（）函数进行矩阵乘法：
• dot（）方法也适用于矩阵向量(matrix-vector)乘法：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],[3, 4]])
print(A * A)
print(np.dot(A,A))

文件操作

• savetxt()将表保存到文本文件。
• 其他可用的格式(参见API文档)  
• save()将表保存为Numpy“.npy”格式的二进制文件 
• oadtxt（）将以文本文件存储的表读入数组。
• 默认情况下，loadtxt()假定列是用空格分隔的。 您可以通过修改可选的参数进行更改。 以散列（＃）开头的行将被忽略。
• 示例文本文件data.txt： (Example text file data.txt:) #Year  Min temp. Hax temp. 

• 1990     -1.5       25.3

• 1991     -3.2      21.2    

import numpy as np

a = np.linspace(0, 1, 12)
a.shape=(3,4)
np.savetxt('myfile.txt',a)
np.save('myfile',a)
table = np.loadtxt("data.txt")

Numpy包含更高效率的功能

• Numpy包含许多常用的数学函数，例如：

  • np.log
  • np.maximum
  • np.sin
  • np.exp
  • np.abs

• 在大多数情况下，Numpy函数比Math包中的类似函数更有效，特别是对于大规模数据。

Scipy 

SciPy的结构

• scipy.integrate - >积分和普通微分方程
• scipy.linalg - >线性代数
• scipy.ndimage - >图像处理
• scipy.optimize - >优化和根查找(root finding)
• scipy.special - >特殊功能
• scipy.stats - >统计功能
• ...

要加载一个特定的模块，请这样使用, 例如 :

• from scipy import linalg

 

线性代数

　　线性方程的解

　　linalg的其他有用的方法：eig()（特征值和特征向量），det()（行列式）。

import numpy as np
from scipy import linalg    

A = np.random.randn(5, 5)
b = np.random.randn(5)
x = linalg.solve(A, b)     # A x = b
#print(x)    
eigen = linalg.eig(A)     # eigens
#print(eigen)    
det = linalg.det(A)     # determinant    
print(det)            

数值整合

　　integration.quad是一维积分的自适应数值积分的函数。

import numpy as np
from scipy import integrate

def fun(x):
    return np.log(x)

value, error = integrate.quad(fun,0,1)
print(value)
print(error)

用Scipy进行统计

　　scipy具有用于统计功能的子库,有一些有用的统计功能。 例如，给出标准正态分布的累积密度函数。

　　　　　　　　　　　　　　

　　这个包，我们可以直接使用它，如下：

from scipy import stats

y = stats.norm.cdf(1.2) #标准正态分布的累积密度函数
print(y)

优化：数据拟合

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

def func(x, a, b, c):    
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0, 4, 50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
ydata = y+0.2*np.random.normal(size=len(x))
popt, pcov = curve_fit(func, x, ydata)
plt.plot(x, ydata, 'b*')
plt.plot(x, func(x, popt[0],popt[1], popt[2]), 'r-')
plt.title('$f(x)=ae^{-bx}+c$ curve fitting')

　　　　　　　　　　

优化:根搜索

import numpy as np
from scipy import optimize

def fun(x):
    return np.exp(np.exp(x)) - x**2

# 通过初始化点0，找到兴趣0 (find zero of fun with initial point 0)
# 通过Newton-Raphson方法 (by Newton-Raphson)
value1 = optimize.newton(fun, 0)

# 通过二分法找到介于(-5,5)之间的 (find zero between (-5,5) by bisection)
value2 = optimize.bisect(fun, -5, 5)

Matplotlib

简单制图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 201)
#y = x ** 0.5
#plt.plot(x, y) # default plot
plt.figure(figsize = (3, 3)) # new fig
plt.plot(x, x**0.3, 'r--') # red dashed
plt.plot(x, x-1, 'k-') # continue plot
plt.plot(x, np.zeros_like(x), 'k-')

多个制图图例标签和标题

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 201)
plt.figure(figsize = (4, 4))
for n in range(2, 5):
    y = x ** (1 / n)
    plt.plot(x, y, label='x^(1/'  + str(n) + ')')
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('X axis')
plt.ylabel('Y axis')
plt.xlim(-2, 10)
plt.title('Multi-plot e.g. ', fontsize = 18)

绘制子图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def pffcall(S, K):    
    return np.maximum(S - K, 0.0)
def pffput(S, K):
    return np.maximum(K - S, 0.0)  

S=np.linspace(50,151,100)
fig = plt.figure(figsize=(12, 6))  

sub1 = fig.add_subplot(121)
sub1.set_title('Call', fontsize = 18)
plt.plot(S, pffcall(S, 100), 'r-', lw = 4)#lw是宽度
plt.plot(S, np.zeros_like(S), 'black',lw = 1)
sub1.grid(True)#显示网格线
sub1.set_xlim([60, 120])
sub1.set_ylim([-10, 40])    

sub2 = fig.add_subplot(122)
sub2.set_title('Put', fontsize = 18)
plt.plot(S, pffput(S, 100), 'r-', lw = 4)
plt.plot(S, np.zeros_like(S), 'black',lw = 1)
sub2.grid(True)
sub2.set_xlim([60, 120])
sub2.set_ylim([-10, 40])  

 在绘制的图上添加文本和注释

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

def call(S, K=100, T=0.5, vol=0.6, r=0.05):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * vol**2) \
          *T) / np.sqrt(T) / vol
    d2 = (np.log(S/K) + (r - 0.5 * vol**2) \
          *T) / np.sqrt(T) / vol
    return S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)

def delta(S, K=100, T=0.5, vol=0.6, r=0.05):
    d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5 * vol**2)*T) / np.sqrt(T) / vol
    return norm.cdf(d1)

S = np.linspace(40, 161, 100)
fig = plt.figure(figsize=(7, 6))
ax = fig.add_subplot(111)
#add_subplot(111)把画布分为1行1列，area为从左往右从上往下第1块区域
plt.plot(S,(call(S)-call(100)),'r',lw=1)
plt.plot(100, 0, 'ro', lw=1)
plt.plot(S,np.zeros_like(S), 'black', lw = 1)
plt.plot(S,call(S)-delta(100)*S-  \
         (call(100)-delta(100)*100), 'y', lw = 1)

ax.annotate('$\Delta$ hedge', xy=(100, 0), \
            xytext=(110, -10),arrowprops= \
            dict(headwidth =3,width = 0.5, \
            facecolor='black', shrink=0.05))#xy是点的位置 #xytext是文字位置，arrowprops 箭头
ax.annotate('Original call', xy= \
            (120,call(120)-call(100)),xytext\
            =(130,call(120)-call(100)),\
            arrowprops=dict(headwidth =10,\
            width = 3, facecolor='cyan', \
            shrink=0.05))
plt.grid(True)
plt.xlim(40, 160)
plt.xlabel('Stock price', fontsize = 18)
plt.ylabel('Profits', fontsize = 18)

3D制图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

x, y = np.mgrid[-5:5:100j, -5:5:100j]
z = x**2 + y**2
fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = plt.axes(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1,\
                       cmap=cm.coolwarm, cstride=1, \
                       linewidth=0)
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
plt.title('3D plot of $z = x^2 + y^2$')

3D制图练习

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

x, y = np.mgrid[-10:10:100j, -10:10:100j]
z = x**2*0.05 + np.sin(x) + y**2*0.05 + np.sin(y)
fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = plt.axes(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1,\
                       cmap=cm.rainbow, cstride=1, \
                       linewidth=0)
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
plt.title('3D plot of $z = 0.05*x^2 + sin(x) + 0.05*y^2+sin(y)$')

♥形线

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def y(S):
    
    return 13*np.cos(S)-5*np.cos(2*S)-2*np.cos(3*S)-np.cos(4*S) 
def x(S):
    return 16*np.sin(S)**3

S = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
fig = plt.figure(figsize=(4, 4))

plt.plot(x(S),y(S),'blue',lw=1)
plt.title("Heart")
plt.grid(True)
        

 

符号计算（Symbolic computat）

　　以上只是数值计算，接下来涉及符号计算，python通过模块sysmpy来进行符号计算，类似于方程求解，积分等的显式求解。

声明一个符号变量　

import sympy as sy

#声明x，y为变量
x = sy.Symbol('x')
y = sy.Symbol('y')
a, b = sy.symbols('a b')
#创建一个新符号（不是函数
f = x**2 + y**2 -2*x*y + 5
print(f)
#自动简化
g = x**2 + 2 - 2*x + x**2 -1
print(g)

符号的使用1：求解方程

import sympy as sy

x  = sy.Symbol ('x')
y  = sy.Symbol('y')
# 给定[-1,1]  (give [-1, 1])
print(sy.solve (x**2 - 1))
# 无解 (no guarantee for solution)
print(sy.solve(x**3  +  0.5*x**2 - 1))
# 用x的表达式表示y     (exepress x in terms of y)
print (sy.solve(x**3  +  y**2))
# 错误：找不到算法 (error:  no  algorithm  can  be  found)
print(sy.solve(x**x + 2*x - 1))

符号的使用2：集成 

import sympy as sy

x = sy.Symbol('x')
y = sy.Symbol( 'y')
a,b = sy.symbols ( 'a b')
# 单变量 single  variable
f = sy.sin(x) + sy.exp(x)
print(sy.integrate(f, (x,  a,  b)))
print(sy.integrate(f, (x,  1,  2)))
print(sy.integrate(f, (x,  1.0,2.0)))
# 多变量 multi variables
g = sy.exp(x) + x * sy.sin(y)
print(sy.integrate(g, (y,a,b)))

符号的使用3：分化

import sympy as sy

x =  sy.Symbol( 'x')
y =  sy.Symbol( 'y')
# 单变量 (single variable)
f = sy.cos(x) + x**x
print(sy . diff (f ,  x))
#  多变量  (multi variables)
g = sy.cos(y) * x + sy.log(y)
print(sy.diff (g,  y))

 代码整合

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