【数据统计】— 数据分布、集中趋势、离散程度

数据分布基本指标

• 在对大数据进行研究时，首先希望知道所获得的数据的基本分布特征
• 数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述：
  • 描述数据分布的集中趋势：反映数据向其中心靠拢或聚集程度
  • 描述数据分布的离散程度：反映数据远离中心的趋势或程度
  • 描述数据分布的形状变化：反应数据分布的形状特征

集中趋势

• 集中趋势反映了一组数据的中心点位置所在及该组数据向中心
  靠拢或聚集的程度。
• 四种最常用的反映数据集中趋势的指标：
  • 平均数
  • 中位数
  • 分位数
  • 众数

平均数

• 平均数也称均值(mean)，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果，是集中趋势最主要的指标。
• 主要适用于数值型数据，而不适用于分类数据和顺序数据。

简单平均数(simple mean): 算术平均数

• 根据未经分组数据计算得到的平均数

• 若有一组数据：1, 2, 3, ⋯,, 则简单平均数为：

• 特点：易受极端值的影响

加权平均数(weighted mean)

• 根据分组数据计算的平均数
• 若有一组n个数据分为K组，各组的值表示为：1, 2, 3, ⋯,K,
• 各组变量出现的频数表示为：1, 2, 3, ⋯,,
• 则该数据的加权平均数为：
• 特点：
  • 影响因素：组数值，频数
  • 频数越多，该组影响最大

几何平均数(geometirc mean)

• 几何平均数是n个变量值乘积的n次方根

  • 适用范围
    • 平均比率：年利率、合格率等

• 若一组数据1, 2, 3, ⋯,，则该组数据的几何平均数为

• 若数值为增长率

• 特点

  • 几何平均数受极端值的影响较算术平均数小
  • 如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数
  • 几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数

算术平均数 vs 几何平均数

• 例：一只股票价格第一年初价格为10元，第一年增长了100%，第二年下降了50%，计算两年平均增长率？

中位数

分位数

• 中位数用1 个点将数据两等分
• 类似的，若用3 个点将数据四等分、9 个点将数据十等分、99 个点将数据一百等分，则对应等分点上的值为四分位数(quartile)、十分位数(decile) 和百分位数(percentile)
• 四分位数也称四分位点，它通过3 个点将数据等分成四个部分
  • 中间的四分位数就是中位数
  • 下四分位数：处在25% 位置上的数值，第一四分位数
  • 上四分位数：处在75% 位置上的数值，第三四分位数
  • 四分位距IQR：Q3-Q1

箱图

• 相对稳定的方式描述数据分布
• 不受异常值影响，识别了异常值

众数

离散程度

• 离散程度反映了各个数据属性值远离其中心值的程度，是数据分布的另一个重要特征。
• 数据的离散程度越大，则集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，反之亦然。
• 四种最常用的反映数据离散程度的指标：
  • 方差和标准差
  • 极差和四分位差
  • 异众比率
  • 变异系数

方差和标准差

• 在数值型数据中, 刻画数据围绕其中心位置附近分布的数字特征时，最重要且最常用的是方差(variance) 和标准差(standard deviation)
• 衡量平均数对数据的代表性
• 方差是各个变量与均值之差平方的平均数
• 标准差为方差的平方根，两个指标均能较好地反映出数值型数据的离散程度

方差

• 对于未分组数据1, 2, 3, ⋯,，数据的算术平均数为。数据的总体方差为

• 对于已分为K组的N个数据，各组的值表示为：1, 2, 3,⋯,K, 各组变量出现的频数表示为：1, 2, 3, ⋯,, 数据的加权平均数为，则数据的总体方差为

标准差

• 标准差为方差的算数平方根，具有量纲(与原数据有相同单位)
• 它与变量值的计量单位相同，实际意义比方差更清楚。
• 对于未分组数据和加权的分组数据（K组）来说，其标准差的计算公式分别为：
  
  

极差和四分位差

• 在顺序数据中，当中位数为数据中心位置的指标时，可以用极差或者四分位差反映数据的离散程度
• 衡量中位数对数据的代表性

极差

• 一组数据的最大值和最小值之差为极差(range)，也被称为全矩®, 描述数据离散程度的最简单的测度值
• 一组数据1, 2, 3, ⋯,，则该组数据的极差为
• 特点
  • 极差是数据的振幅，振幅越大表示数据越分散
  • 极差只利用了一组数据的两端信息，易受极端值影响。若大部分数据集中在一个较窄的范围，极端值的数据较少，则极差不能准确描述数据的分散程度，即不能反映中间数据的分散程度。