26对称矩阵及正定性

一、知识概要

本节从对称矩阵的特征值，特征向量入手，介绍对称矩阵在我们之前学习的一些内容上的特殊性质。并借此引出了正定矩阵。

二、对称矩阵

正如我们之前学习的很多特殊矩阵一样（如马尔科夫矩阵），对称矩阵也有许多特殊性质。而我们之前注意到，一个矩阵很多性质的特殊性体现在特征值与特征向量上，而对于对称矩阵，我们从特征值也特征向量的特殊性开始入手。直接给出性质，对称矩阵满足：
（1）A =
（2）有正交的特征向量
注：其中（2）指的是可以“挑选出”一组垂直的特征向量，因为对于特征值重复的情况来说，这时会有一整个平面的特征向量，那么我们只要选其中垂直的一组向量就行，此时定理“有正交的特征向量”仍满足。而对于特征值不重复的情况，其对应的特征向量相互垂直。

2.1 对称矩阵的分解
已知上面两个性质，我们就能看出来对称矩阵的很多特点了，比如：由（2）这个性质，它的特征向量必然全部线性无关，而这正是矩阵可被对角化的前提条件。于是我们根据矩阵对角化的知识:

所以，给定一个对称矩阵，我们就可以将其分解成上面的这种形式。这在力学上被称为主轴定理，它意味着如果给定某种材料，在合适的轴上来看，它就会变成对角化的，方向就不会重复。而在数学上，这被称为“谱定理”。

2.2 对称矩阵的特征值
还记得之前介绍的旋转矩阵，其中有的对应值会造成特征值为虚数的情况，但是对于对称矩阵来说，这种情况是不会发生的，即：**对称矩阵特征值均为实数。**那么为什么对称矩阵的特征值是实数？

接下来，在知道了其特征值为实数之后，下面我们还需要探究其是正数还是负数。
（1） 对称矩阵的主元正负个数与特征值的正负个数对应一致。
正主元个数 = 正特征值个数
负主元个数 = 负特征值个数
（2）对称矩阵的主元的乘积等于特征值的乘积（它们都等于矩阵行列式的值）
2.3 对称矩阵的另一种理解

于是就有对于谱定理的另一理解角度：每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的线性组合。

三、正定矩阵简介

这一节中提前渗透一些正定矩阵的内容，了解即可，27,28 课会时对正定矩阵会进行详细叙述。
所谓正定矩阵就是一类对称矩阵，满足：
（1）所有的特征值是正数
（2）所有主元为正
（3）所有的子行列式都为正

四、学习感悟

本节从对称矩阵入手，介绍了对称矩阵的一些基本性质，进而引出了正定矩阵。我们可以看到，正定矩阵将矩阵的特征值，主元，行列式都联系到了一起，这样一来很多东西就被大大简化了，之后学习正定矩阵时，我们会更好的体会到这一点。