SP4300 AE00 - Rectangles

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题目

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题意

有 n 个长度为 1 的正方形，求能组成多少个不同的长方形？

通过旋转可以得到另一个长方形，则两种组成相同。

思路

1. 将 1 到 n 拆成不同的（x,y）
2. 使 x，y 相乘小于等于 n
3. 求最多有多少个（x,y）
4. 可以 $O(N)$ 解决

坑点

1. 双重循环较慢

算法一：双重循环暴力 +set

时间复杂度

$O(N^2)$

110ms

实现步骤

1. 使用 set 来存储去重后的对数
2. 双重循环求解

代码

#include 
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    set<pair<int, int>> w;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int a = i;
            int b = j;
            if (i * j <= n)
            {
                if (a > b)
                {
                    swap(a, b);
                }
                w.insert({a, b});
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
    }
    cout << w.size();
    return 0;
}

算法二：贪心

时间复杂度

$O(N)$

60ms

实现步骤

1. 找规律，见图
2. ​
3. 按规律模拟即可

代码

#include 
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (n / i >= i)
        {
            ans += (n / i) - i + 1;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

总结

暴力即可求解，贪心 + 思维优化求解公式，不错的入门题，优化小思维