一个初等数论问题

App“爱数学爱打卡”会每天提供一道比较有趣的数学题，为了让脑子不锈掉，本弱鸡没事会做一下，今天的题目如下：

来自App“爱数学爱打卡”

这题没想到太好的思路，刚入手只想到先转化成找方程存在解的充要条件的问题。

问题转化

假设连续正整数的起始为a，完全平方数为t^2，则易得以下关系：

n^2 + (2a - 1)n=2t^2

利用上式反表示a：

a = (2t^2 / n - (n - 1)) / 2

考虑到a和t为正整数，则问题转化为，n取何值时，存在正整数t使得：

 2t^2 / n - ( n - 1 )为正偶数

自然进一步转换就是：

 2t^2 / n 与 ( n - 1 ) 同奇偶性，且2t^2 / n > ( n - 1 ) 

奇偶讨论

既然都涉及奇偶性了，那我不妨讨论讨论n的奇偶性呗，先来看一下n是奇数会咋样。

n为奇数

此时 n-1 为偶数，因此需要 2t^2 / n 为大于 n-1 的偶数，取 t 为 n 则显然满足上式。

n为偶数

此时 n-1 为奇数。设 n = 2k ，则有 2t^2 / n = t^2 / k，以及n - 1 = 2k - 1。因此 t^2 / k 必为大于 2k - 1 的奇数。

首先要保证 t^2 / k为整数，由此我们可以推出 t^2 中2的幂次大于等于 k中2的幂次。

若k中2的幂次为奇数（如24包含了2的3次方），则t^2中2的幂次必然大于k中的（k^2必包含2的4次方，因为是平方数），则t^2 / k必为偶数。

因此k中2的幂次必为偶数，且易证此时存在t使得t^2 / k为大于 2k - 1 的奇数。

结论

综上：

n的取值范围为所有2的幂次为0或者正奇数的正整数。