关于 傅里叶变换 的一些理解（通俗版）

什么是傅里叶变换？

对随时间变化的曲线，不再从时间轴上去看他的变化，而是消去时间因子，从出现的频率上来分析他的变化情况。

例如：
股市变化曲线是随时间变化的曲线，而通过傅里叶变化，将不再是时间频域上分析，而是频率频域上分析，与时间没有关系了。（最简单的就是对sin或者cos进行变换来看。）
对于光场传输的话，光场在传输方向上的空间分布（类似时间），通过傅里叶变换，将无空间特性，而是频率特性。

在时间域（或者空间域）是一段变化的波，而对应的频率域可能就是一个简单的脉冲点或者线。

如一段音乐


一小段波的变化可能对应一个音符，也就是时域与频域的对应。

不同频率波的叠加


黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。
时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为正弦波cos(w0t)看作基础，那么频域的基本单元就是w0。

近似矩形波在频域里的另一个模样：



注：傅里叶变换，是将时间域的合成波形，分解成无数个周期恒定的子波，而子波的振幅高度就是频域高度，不同频率值即为不同的子波。

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。

傅里叶变换有什么用？

可以用来处理 时间域（空间域）中难以实现的情况，而通过频率域则很简单。

比如，对于sin（3x）+sin（5x）的图形，需要去除sin（5x）函数，在空间域实现起来很难，但是在频率则很简单。
怎么来做呢？通过前一章的侧面观察法，我们可以发现，只需要在频率域去除这一频率脉冲就可以了，然后，需要的话，通过一个反傅里叶变换，不就实现了吗？是不是，这样对于复杂的情况就简单多了！

尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
这里再补充一个 相位谱

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。

也就是说，相位谱的大小，是距离频率轴最近的波峰往下投影，然后该投影点到频率轴的距离，就是相位谱！

• 傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波。

再补充一个 虚数符号与欧拉公式
我们先来看看这个虚数符号 i ，它有什么样的意义呢？可能自从我们认识它后，只初步了解他的数学运算，其实它还有一定的物理意义：

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。

引：傅里叶变换的意义与理解（详解）