单相与三相dq变换的对比分析（谐波的dq变换）

1. 基本理念

   单相dq变换和三相dq变换基本上是一致的，只不过三相dq变换多了一步$abc-\alpha \beta$，而这个变换的结果就是$\alpha$比$\beta$超前90度，和我们单相时构造两相延迟90度是完全一致的。但是单相和三相dq变换还是有差异的，主要是在高次谐波上，三相dq变换的结果是正序降频，负序升频,其三相电流的每一次谐波与dq变换矩阵相乘后能够合并成一个式子，**但是$单相dq变换$时每一次谐波变换的结果很可能是$四个正弦量的和$，并且频率和相位不全相同，无法合并。总体而言，如果要获取基波的有功分量和无功分量，应该加低通滤波器，但是这个低通滤波器应该保证滤波性能和稳定性，不能随意添加。

2. 单相dq变换

   单相系统中，电流的基波分量进行dq变换的结果是id和iq均为常数，这是因为异名函数得正弦，同名函数得余弦，只要dq变换矩阵和$I_{\alpha }$及$I_{\beta }$的关系设置合理，便可消除二倍基频的交流量。但是对于谐波而言，并非如此，构造延时四分之一周期的$I_{\beta }$在二次谐波状况下是滞后$I_{\alpha }$角度为180度，而三次谐波状况下是滞后$I_{\alpha }$角度为270度，在不同的谐波次数下，变换的结果形式并不相同，但是基本上均含有交流分量，下面以二次谐波的dq变换为例。
$$\left[\begin{array}{cc}coswt& sinwt\\ -sinwt& coswt\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}cos(2wt-\varphi )\\ cos(2wt-\varphi -\pi )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.5[cos(3wt-\varphi )+cos(-wt+\varphi )-sin(3wt-\varphi )-sin(-wt+\varphi )]\\ -0.5[sin(3wt-\varphi )+sin(-wt+\varphi )+cos(3wt-\varphi )+cos(-wt+\varphi )]\end{array}\right]$$
   很显然，二次谐波进行dq变换的结果含有两种频率的状况，并且无法合并。

3. 三相dq变换

   由于三相dq变换矩阵的种类较多，但是变换的方法是一致的，此处仅使用其中一种进行说明。基波的情况不在赘述，此处使用二次谐波（负序）和七次谐波（正序）进行说明。

(1) 二次谐波（负序）

$$\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}sinwt& sin(wt-\frac{2\pi }{3}）& sin(wt+\frac{2\pi }{3}）\\ coswt& cos(wt-\frac{2\pi }{3}）& cos(wt+\frac{2\pi }{3}）\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{m}sin(2wt+\theta )\\ I_{m}sin(2wt+\theta -240^{\circ })\\ I_{m}sin(2wt+\theta +240^{\circ })\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-I_{m}cos(3wt+\theta )\\ I_{m}sin(3wt+\theta )\end{array}\right]$$

(2) 七次谐波（正序）

$$\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}sinwt& sin(wt-\frac{2\pi }{3}）& sin(wt+\frac{2\pi }{3}）\\ coswt& cos(wt-\frac{2\pi }{3}）& cos(wt+\frac{2\pi }{3}）\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{m}sin(7wt+\theta )\\ I_{m}sin(7wt+\theta +240^{\circ })\\ I_{m}sin(7wt+\theta -240^{\circ })\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{I}_{m}cos(-6wt-\theta )\\ -I_{m}sin(-6wt-\theta )\end{array}\right]$$
   分析二次谐波和七次谐波的三相dq变换可以发现，二次谐波进行dq变换之后升频，而七次谐波进行dq变换之后降频。这是因为我们采用的dq变换矩阵是正序的，通过推导，容易发现和正序相同的相序变换后会降频，反之升频，如果dq变换矩阵是负序的，则正序升频，负序降频。

(3) m倍基频同步旋转坐标变换

   m倍基频同步旋转坐标变换如下所示，当m=6k+1时，dq变换矩阵是正序的，变换后的结果是正序降频，负序升频；而当m=6k-1时，dq变换矩阵是负序的，变换后的结果是正序升频，负序降频。
   m=6k+1时，dq变换如下
   m=6k-1时，dq变换如下
   因此当 m 为特定次谐波次数 n 时，当通过 m 倍基频的同步旋转坐标变换后，此时 n 次谐波将由交流量变换为直流量，再通过低通滤波器可得 n 谐波电流的有功分量和无功分量。比如m=2=n，dq变换矩阵是负序的，二次谐波会降频2次，变成直流量。

参考资料

二极管箝位三电平APF设计及其控制研究
对称三相电路的高次谐波
正序负序零序表示方法

反馈与建议

• 邮箱：[email protected]