腾讯校招编程题之快递分身术

题目描述

城市里有3000条横向的道路和3000条纵向的道路，分别从1开始编号知道3000,。相邻两条平行道路的间距为1。

我们用(x,y)表示第x号横向道路和第y号纵向道路。N个需要送快递的点坐落在这些交点上。小Q只能沿着这些道路送快递，而且只能在道路的交叉点改变方向。

接下来的M天，小Q每天都要从指定的地方出发将快递送往N个点。幸运的是，犇犇老师教了小Q分身大法，可以消耗s点法力值制造一个可以走s距离的分身，但是每个分身只能搬得动一件快递。小Q不想自己去送快递，于是他想请你帮忙计算，每一天他最少需要多少法力值才能让分身们帮他送完所有的快递。

输入描述

每个输入包含一个测试用例。

每个测试用例的第一行包含两个正整数，表示需要送快递的点数N(N<=200000)和小Q送快递的天数M(M<=200000)。

接下来的N行，每行包含两个正整数xi(xi<=3000)和yi(yi<=3000)，表示需要送快递的点的坐标。

接下来的M行，每行包含两个正整数ai(ai<=3000)和bi(bi<=3000)，表示当天送快递的出发点。

输出描述

对于每一天，在单独的一行输出一个整数，表示当天送完快递最少需要的法力值

样例输入

3 3
5 5
5 10
10 5
1 1
5 5
10 10

样例输出

34
10
20

题意分析

方案一：在每一天，以出发点为坐标中心，遍历所有收货点进行路径长度的计算

评价一：这样的算法规模太大，时间复杂度为O(MN)，故该方案可以直接抛弃

方案二：在输入收货点的时候，计算所有的点与原点的路径长度，最后根据每天的出发点，减去与原点之间的差值，算出最少小号的法力

评价二：这样的算法规模得到优化，时间复杂度为O(M+N)，但该算法存在缺陷，所有的收货点必须位于出发点的同一象限之内

方案三：在输入收货点的时候，计算所有的点与原点的的路径长度。接着预计算一个距离表(具体意义看下文)，最后通过某条公式直接算出最少小号的法力

评价三：这样的算法时间复杂度为O(M+N)，兼容了多个象限上的路程问题，推荐使用

分析过程

我想你们一定会很好奇，我是怎么想到这第三个方案的。首先，直觉告诉我，这个最短路径，肯定与所有点到原点的路程之和存在一定关系。那么，现在就让我们见证下Excel强大的分析功能（为方便说明，下图只抽取y轴上的距离进行计算）

从图中我们可以发现，计算距离与实际距离是相同的，而且距离偏差存在一定的规律可巡，证明该条公式是存在的。

计算公式

这是我的猜想：法力消耗=sum-p*count+d[p]，因为不知道怎么证明

参数说明

sum：一个整数，表示所有收货点在某一方向距离原点的路径长度

p：一个整数，表示送货点在某一方向上的位置

count：一个整数，表示收货点的数量

d：一个数组，下标代表在某一方向上的位置，表示在一个方向中，每个点距离所有收货点的距离补偿

距离偏差的深究

仔细研究这个d数列可以发现，他是一个由偶数组成的数列，并且在每当越过一个收货点，距离偏差都会加上2，同时这个距离偏差是可以累加的。有以下两条公式可以参考一下：

距离偏差=距离偏差+当前所在位置跨越的点数*2。

距离补偿[n]=距离补偿[n-1]+当前距离偏差

关于这个距离补偿的数列，我不清楚存在该结构的原因，而且不清楚距离偏差为什么那样计算。如果有知道其中原因的，麻烦告知

参考代码

#include
#include

算法评测

由于是昨天刚出的编程题，当时只想到第二个方案，只过了30%的数据，今天才想出最好的方案。但是考试链接已失效，我也没法验证这个代码是否能AC，欢迎大佬们批评指正