随想录Day56--动态规划:583. 两个字符串的删除操作,72. 编辑距离

583. 两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2 ,返回使得 word1 和  word2 相同所需的最小步数

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例 1:

输入: word1 = "sea", word2 = "eat"
输出: 2
解释: 第一步将 "sea" 变为 "ea" ,第二步将 "eat "变为 "ea"

示例  2:

输入:word1 = "leetcode", word2 = "etco"
输出:4

提示:

  • 1 <= word1.length, word2.length <= 500
  • word1 和 word2 只包含小写英文字母

思路

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的字符串word1,和以j-1位结尾的字符串word2,想要达到相等,所需要删除元素的最少次数。

这里dp数组的定义有点点绕,大家要撸清思路。

2.确定递推公式

  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,有三种情况:

情况一:删word1[i - 1],最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二:删word2[j - 1],最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三:同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

那最后当然是取最小值,所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,递推公式:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2,所以递推公式可简化为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

3.dp数组如何初始化

从递推公式中,可以看出来,dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]:word2为空字符串,以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素,才能和word2相同呢,很明显dp[i][0] = i。

4.确定遍历顺序

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5.举例推导dp数组

以word1:"sea",word2:"eat"为例,推导dp数组状态图如下:

随想录Day56--动态规划:583. 两个字符串的删除操作,72. 编辑距离_第1张图片

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for(int j = 0; j <= len2; j++){
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i = 0; i <= len1; i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int i = 1; i <= len1; i++){
            for(int j = 1; j <= len2; j++){
                if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

72. 编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2, 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作:

  • 插入一个字符
  • 删除一个字符
  • 替换一个字符

示例 1:

输入:word1 = "horse", word2 = "ros"
输出:3
解释:
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2:

输入:word1 = "intention", word2 = "execution"
输出:5
解释:
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示:

  • 0 <= word1.length, word2.length <= 500
  • word1 和 word2 由小写英文字母组成

思路

1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候,首先要考虑清楚编辑的几种操作,整理如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白,为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢?

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义,word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了,那么就不用编辑了,以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中,如果哪里看不懂,就回想一下dp[i][j]的定义,就明白了。

在整个动规的过程中,最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义!

if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了,如何编辑呢?

  • 操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

  • 操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了,怎么都是删除元素,添加元素去哪了。

word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a"word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad", 最终的操作数是一样! 

操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。

可以回顾一下,if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义:

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢?

dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式:

  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:

随想录Day56--动态规划:583. 两个字符串的删除操作,72. 编辑距离_第2张图片

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1为例,输入:word1 = "horse", word2 = "ros"为例,dp矩阵状态图如下:

随想录Day56--动态规划:583. 两个字符串的删除操作,72. 编辑距离_第3张图片

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for(int i = 0; i <= len1; i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j = 0; j <= len2; j++){
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i = 1; i <= len1; i++){
            for(int j = 1; j <= len2; j++){
                if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}

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