电压有效值电容和电感的电压电流相位关系以及电抗和容抗值推导

注意下面所有$w$表示的都是角速度而不是频率

电压有效值

高中物理中知道有效值电压是根据电阻发热的功率等效得到的
对于正弦波的电压，$U=U_{m}sinwt$,对应的电流$$I=\frac{U_m}{R}sinwt$$
求得一个周期的发热量
$${\int }_0^T{I}^{2}R{d}_t={\int }_0^T\frac{(U_{m}sinwt{)}^2}{R}{d}_t=\frac{U_m^2}{R}{\int }_0^T(sinwt{)}^2{d}_t\text{\hspace{1em}(公式1)}$$
公式1中的可以化简如下,
$${\int }_0^T(sinwt{)}^2{d}_t={\int }_0^T\frac{1-cos2wt}{2}{d}_t={\int }_0^T\frac{1}{2}{d}_t-{\int }_0^T\frac{cos2wt}{2}{d}_t\stackrel{余弦函数周期内积分0}{}={\int }_0^T\frac{1}{2}{d}_t=\frac{T}{2}$$
则公式1最终结果
$$\frac{U_m^2}{R}{\int }_0^T(sinwt{)}^2{d}_t=\frac{U_m^2}{R}.\frac{T}{2}=\frac{U_{有效}^2}{R}.\text{\hspace{1em}(公式2)}$$
通过公式2可知
$$U_{有效}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$$

电容电感的电压和电流的相位问题

电容的电流和电压

电流$$I=\frac{dQ}{dt}=\frac{CdU}{dt}\text{\hspace{1em}(式子2-1)}$$
其中$dQ表示电容上电荷变化量，dU表示电压变化量$
设电压是正弦波的交流电$U=U_{m}sinwt$，再有式子2-1可知电流
$$I=\frac{Cd(U_{m}sinwt)}{dt}=C{U}_{m}wcoswt$$
通过上面电流和电压的公式可以看出电流比电压超前$\frac{\pi }{2}$

电感的电流和电压

设电流值是正弦函数：$I=I_{m}sinwt$，电流和电压的关系如下
$$U=\frac{d\Psi }{dt}=\frac{LdI}{dt}=\frac{L{I}_{m}dsinwt}{dt}=L{I}_{m}wcoswt$$
通过上面的电流和电压的表达式可知电压比电流超前$\frac{\pi }{2}$

电容的容抗计算公式

f是电容两端的频率，c是电容值

根据电阻的有效电压的思想计算电容的容抗

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/39915001
首先认为加在电容两端的电压依然认为是正弦波的电压$$U=U_{m}sinwt\text{\hspace{1em}(电压)}$$
对应电压的有效值是：$$U_{有效}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\text{\hspace{1em}(电压有效)}$$
电容的电流和电压关系:
$$I=C\frac{dU}{dt}=C\frac{d(U_{m}sinwt)}{dt}$$
设电容的阻值是$X_C$,那么一个周期内的发热计算
$$I_{有效}^2{X}_{C}T={\int }_0^T{I}^2{X}_{C}dt={\int }_0^T(C\frac{d(U_{m}sinwt)}{dt}{)}^2{X}_{C}dt={\int }_0^T{I}^2{X}_{C}dt={\int }_0^T({Cw{U}_{m}coswt)}^2{X}_{C}dt$$
上式中消去容抗$X_c$可得
$$I_{有效}^{2}T={\int }_0^T({Cw{U}_{m}coswt)}^{2}dt={(Cw{U}_m)}^2{\int }_0^T({coswt)}^{2}dt\text{\hspace{1em}(式3)}$$
式子3中的化简，
$$\begin{array}{rl}{(Cw{U}_m)}^2{\int }_0^T({coswt)}^{2}dt& ={(Cw{U}_m)}^2{\int }_0^T\frac{1+cos2wt}{2}dt\\ & ={(Cw{U}_m)}^2({\int }_0^T\frac{1}{2}{d}_t+{\int }_0^T\frac{cos2wt}{2}{d}_t)\\ & \stackrel{余弦函数周期内积分0}{}\\ & ={(Cw{U}_m)}^2\frac{T}{2}\end{array}\text{\hspace{1em}(式4)}$$
式子3和4可知
$$\begin{array}{rl}{I}_{有效}^{2}T& ={(Cw{U}_m)}^2\frac{T}{2}\\ I_{有效}& =\frac{Cw{U}_m}{\sqrt{}2}\end{array}\text{\hspace{1em}(式5)}$$
最终容抗值可得
$$X_C=\frac{U_{有效}}{I_{有效}}=\frac{\frac{U_m}{\sqrt{2}}}{\frac{Cw{U}_m}{\sqrt{}2}}=\frac{1}{Cw}=\frac{1}{2\pi fC}$$

电感感抗

假设电流是：$I=I_{m}sin(wt)$,
根据正弦波得有效值可知道有效电流$$I_{有效}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}$$
对应得电压公式
$$U=L\frac{dI}{dt}=L\frac{d(I_{m}sinwt)}{dt}=wL{I}_{m}cos(wt)$$
同样设电感得阻值是$X_L$
可知下面的等式
$$\begin{array}{rl}{I_{有效}}^2{X}_{L}T& ={\int }_0^T(\frac{U}{X_L}{)}^2{X}_{L}dt\\ & =\frac{(wL{I}_m{)}^2}{X_L}{\int }_0^T(coswt{)}^{2}dt\\ & =\frac{(wL{I}_m{)}^2}{X_L}{\int }_0^T\frac{1+cos2wt}{2}dt\\ & =\frac{(wL{I}_m{)}^2}{X_L}{\int }_0^T\frac{1}{2}dt+0\end{array}\text{\hspace{1em}(公式6)}$$
公式6可化简为
$$\frac{I_m^2{X}_{L}T}{2}=\frac{(wL{I}_m{)}^2}{X_L}\frac{T}{2}\stackrel{两边消去相同得项得到}{}{X}_L=\frac{(wL{)}^2}{X_L}\stackrel{最后得到电抗}{}{X}_L=wL$$