王梓瑜讲义1.19因式分解

因式分解

1.二元二次因式分解，如果不好做可以直接Δ来分解。

2.有时候对原先题目给定的主元不好解决，可以考虑换主元。这种想法在各类函数问题里非常常用。

3.熟悉多项式的猜根，并且能用多项式的长除法算出另外的因式。

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例题：证明在m,n都是大于1 的整数的时候，是合数。（《因式分解》p20）

分解出之后，想要证明是合数，那就证明不是素数也不是1

不是1容易证明

不是素数，用，假如是素数，那么较小的一个一定是1

所以，这个方程有正整数根，1.，可以直接用去解，整理成m的二次方程，因为有根所以，容易证明矛盾。 2.，可以直接:

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例题：分解因式：  （《因式分解》p20） 

（海伦公式的分解形式，值得背住）

最后分解的结果是，这个公式值得背住。

这题解决的时候一个重要的观察是用的时候，只有a的四次和二次项，所以其实这是一个的二次函数，整理成二次函数之后可以用来做（计算量大一点，但是一定能做）

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例题：分解因式：（《因式分解》p39） 

所以在发现有个因式之后，很容易写出另外两个因式：。然后因为总共次数只有6次，我们已经有三个2次了，所以不会再有别的因式了！

最后要小心一下正负号，这时候只要挑出一项来比对一下就好了。

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例题：分解因式： （《因式分解》p37） 

（原来题目里按照x，y去整理的，如果不好分解，试着用a，b为主元）

按照来整理系数，很容易发现可以进一步十字相乘做

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例题：分解因式：（《因式分解》p42） 

（和上面的题目是完全一样的想法。暴力展开去做。）

然后取a b主元整理系数，和上题一样。

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例题：分解因式： （《因式分解》p50） 

猜根，因为首项系数为1，所以猜有因式。a一定整除4！

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例题：分解因式： （《因式分解》p50） 

猜根，因为首项系数不是1，所以猜有因式，a一定整除5，b一定整除7！

分解了之后，还要想想为什么后面那个3次的不能继续分解。

假如可以继续分解。那么一定有一次因式(ax-b),那么和上面的分析一样，a整除1，b整除1，所以就一定是(x-1)或者(x+1)但是±1都不是的根，所以不能继续分解。

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例题：分解因式：  （《因式分解》p51） 

（有的时候用猜根的方法发现没有一次因式，考虑2次乘2次，这时候没法直接解，用待定系数）

四次的方程

一...假如有一次因式，那么设成(x-a),a整除3，所以一定是±1  ±3，这四个都不是根，所以没有一次因式。

二...假如是二次×二次，直接用待定系数！