算法笔记——归并排序及其基础面试题

再谈归并排序

在我以前的数据结构专栏中已经对归并排序做了介绍，这里我们开始先复习一下归并排序的思路与代码

归并排序用到了分治的思想，将数组不断细分成小的几个区间，将每个区间排成有序后，再将大区间排为有序

代码实现：（非递归实现）

void _MergeSort(vector<int>&arr,int l,int m,int r);//归并操作的函数
void MergeSort(vector<int>&arr)
{
	int n=arr.size();
	int gap=1;//每次归并的小区间
	while(gap<n)
	{
		int l=0;
		while(l<n)
		{
			int m=l+gap-1;//左区间的末尾
			if(m>=n)
			{
				break;//左区间不存在（没有对应的右区间），直接不进行归并
			}
			int r=min(n-1,m+gap);//判断右区间是否越界，右区间不够其实可以继续归并
			_MergeSort(arr,l,m,r);//进行归并操作的函数
			l=r+1;//归并完后继续更新下一个区间
		}
		if(gap>n/2)
		{
			break;//防止溢出
		}
		gap<<=1;//每次将gap*2，扩大区间
		
	}
	
}
void _MergeSort(vector<int>&arr,int l,int m,int r)
{
	int help=(int*)malloc(sizeof(int)*(r-l+1));//归并辅助数组
	int p1=l;
	int p2=m+1;
	while (p1 <= m && p2 <= r) 
	{
		help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
	}
	while (p1 <= m) 
	{
		help[i++] = arr[p1++];
	}
	while (p2 <= r) 
	{
		help[i++] = arr[p2++];
	}
	for (i = 0; i < (r - l + 1); i++) 
	{
		arr[l + i] = help[i];
	}
	free(help);
}

小和问题

问题描述

有一个数组arr，设有一个指针i指向某一个元素，将i左边所有比i小的数字加起来求和，将i遍历整个数组求出最终答案

图例

思路

我们可以直接用暴力的方法，用两个指针遍历来找小数，当然，不是不可以，但是复杂度是O(n²)我们一般不考虑，下面介绍一种转化方法

我们可以把问题转化为求右边有多少个数比i大

比如在上面这个数组

1比2,3，4都大，所以2,3，4在算的时候一定会加一个1，所以我们可以在遍历1的时候加上1*右边有多少个数比1大

但是我们拿到的数组不一定有序，就像这样

[2,3,5,4,6,8,9,7];

所以我们需要排序来完成，因为排序完再算复杂度较高，所以我们可以边排序边计算

在归并的时候可以一个区间区间的计算

在归并到右区间的时候不计算的，归并左区间时计算右区间有多少数比它大，答案加上右区间长度*这个数本身

相等时归并右区间：相等归并左区间右区间究竟大还是小不清楚

代码实现

int Process1(vector<int>& arr, int l, int m, int r)
{
	int ans = 0;
	int* help = (int*)malloc(sizeof(int) * (r - l + 1));
	int i = 0;
	int p1 = l;
	int p2 = m + 1;
	while (p1 <= m && p2 <= r) {
		ans += arr[p1] < arr[p2] ? (arr[p1] * (r - p2 + 1)) : 0;//对答案进行操作
		help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
	}
	while (p1 <= m) {
		help[i++] = arr[p1++];
	}
	while (p2 <= r) {
		help[i++] = arr[p2++];
	}
	for (i = 0; i < (r - l + 1); i++) {
		arr[l + i] = help[i];
	}
	free(help);
	return ans;
}

int smallSum(vector<int>& arr,int l,int r)
{
	if (l == r)
	{
		return 0;
	}
	int mid = l + ((r - l) >> 1);
	return smallSum(arr, l, mid) + smallSum(arr, mid + 1, r) + Process1(arr, l, mid, r);//process是归并函数
}

逆序对问题

我们把(x,y)二元组叫做一个对，逆序对满足右边的数字比左边小

给你一个数组，判断它有多少个逆序对

思路求解

与上一题差不多，但这题我们从右往左归并，我们转化为数右区间有多少个数比左区间小即可

如果从左往右归并的话，我们就不能确定右区间比左区间大了，也不能确定有序

int Process2(vector<int>& arr, int l, int m, int r)
{
	int ans = 0;
	int* help = (int*)malloc(sizeof(int) * (r - l + 1));
	int i = (r - l + 1) - 1;
	int p1 = m;
	int p2 = r;
	while (p1 >= l && p2 > m) {
		ans += arr[p1] > arr[p2] ? (p2 - m) : 0;
		help[i--] = arr[p1] > arr[p2] ? arr[p1--] : arr[p2--];
	}
	while (p1 >= l) {
		help[i--] = arr[p1--];
	}
	while (p2 > m) {
		help[i--] = arr[p2--];
	}
	for (i = 0; i < (r - l + 1); i++) {
		arr[l + i] = help[i];
	}
	free(help);
	return ans;
}


int reverPairNumber(vector<int>& arr, int l, int r)
{
	if (l == r)
	{
		return 0;
	}
	int mid = l + ((r - l) >> 1);
	return reverPairNumber(arr, l, mid) + reverPairNumber(arr, mid + 1, r) + Process2(arr, l, mid, r);
}