高中奥数 2021-09-04

2021-09-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题08）

当为三角形内心时,证明:

.

证明

设的内心为,如图,连结交于,连结交于.

图1

由角的平分线定理可知

.

由正弦定理可知.

同理:.

在中由梅涅劳斯定理可得:

所以.

类似有.

所以.

故.

2021-09-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题09）

在锐角中,是高,、分别是内心外心,且、、三点共线.求证:的外接圆半径等于与边相切的旁切圆半径.(1998,全国高中数学联赛)

解

如图,设与边相切的旁切圆圆心为,显然,、、三点共线.

图2

作于点,于点.

记,,,,,为的半周长.

设,的外接圆半径.

作于点,于点.

利用旁心性质2知,则

.

由,得

.(1)

由三角形外心性质易得.

但平分,知平分.

所以

.(2)

注意到

代入式(2)得.

故.

因此,.结合式(1)得.