【数据结构】二叉搜索树

1二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树 ，或者是具有以下性质的二叉树 :

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

它的左右子树也分别为二叉搜索树

2.二叉搜索树的构建

构建二叉搜索树用一个结构体BSTreeNode 构建树的节点，再定义一个类BSTree来维护这个树。

template 
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode* _left;
	BSTreeNode* _left;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{ }
};

template
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode Node;

private:
	Node* _root = nullptr;
};

3.数据的插入

在二叉搜索树中插入以下元素：8,3,1,10,6,4,7,14,13 

思路：首先检查树是否为空，如果树为空就创建一个新的节点让_root指向这个节点，因为我们构建的树要符合二叉搜索树的特点所以如果要继续插入新的元素就和根节点进行比较，比根节点的值大就往根节点的右边走，如果比根节点的值小就往根节点的左边走。直到为空时说明此时到了这个元素该插入的位置，但是往父节点左边还是右边进行插入还需要进行判断。

bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;  //在往下走之前赋值
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else //cur->_key == key 不允许
			{
				return false;
			}
		}
		//走到这里说明cur == nullptr 
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		return true;

	}

3.中序遍历

public:

void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

private：

	void _InOrder(Node* root)  ///不暴露根节点 
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

因为二叉搜索树的特点所以树的中序遍历结果是升序的。

4.查找元素

bool find(const T& val);

从根节点开始查找, 如果val大于根节点的键值, 去根的右边找; 如果val小于根节点的键值, 去根的左边找

如果最终没找到, 返回false; 如果最终找到了, 返回true

bool find(const T& val)
{
	BTNode* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_val > val)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_val < val)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

5.删除元素

用之前数据构建出来的二叉搜索树来看：

 要删除的节点的种类可以分为以下的几种：

1.  叶子节点（没有孩子）

2.   只有左孩子

3.   只有右孩子

4.   有两个孩子

第一种情况：直接删除该节点即可

第二种情况：首先判断要删除的节点是父节点的左孩子还是右孩子，然后让对应的父节点的位置连接上自己的左孩子

第三种情况：首先判断要删除的节点是父节点的左孩子还是右孩子，然后让对应的父节点的位置连接上自己的右孩子

第四种情况：

// 当前节点左右孩子都存在，直接删除不好删除，可以在其子树中找一个替代结点：

找其左子树中的最大节点，即左子树中最右侧的节点，或者在其右子树中最小的节

点，即右子树中最小的节点

//替代节点找到后，将替代节点中的值交给待删除节点，转换成删除替代节点

以上的每一种情况都要考虑删除的是不是根节点

bool Erase(const K& key)  //要删除元素首先要找到元素
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			 else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			 else  //找到了这个元素，要删除
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)  //要删除的元素是根节点
					{
						_root = _root->_right;
						delete cur;
					}
					else //不是头节点，判断是父节点的哪个孩子
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
				}

				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)  //是不是根节点
					{
						_root = _root->_left;
						delete cur;
					}
					else   //判断是父节点的那个孩子
					{
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					
					}
				}
				else   //做到这里说明要删除的元素一定有两个孩子//当然也要考虑是不是根节点的情况
				{
					Node* parent = cur;
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						parent = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_key = minRight->_key;
					if (minRight == parent->_left)
					{
						parent->_left = minRight->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = minRight->_right;
					}
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

6.性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多

最好情况：二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为 logN;最坏情况：二叉搜索树退化为单支树

7.完整代码

namespace K
{
	template
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode* _left;
		BSTreeNode* _right;
		K _key;

		BSTreeNode(const K& key)
			:_key(key)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode Node;
	public:
		BSTree()
			:_root(nullptr)
		{}

		
		BSTree(const BSTree& t)
		{
			_root = Copy(t._root);
		}

		BSTree& operator=(BSTree t)
		{
			swap(_root, t._root);
			return *this;
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(key);
			if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}

			return true;
		}

		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					// 1、左为空
					// 2、右为空
					// 3、左右都不为空，替换删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//if (parent == nullptr)
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}

						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						//if (parent == nullptr)
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 右子树的最小节点
						Node* parent = cur;
						Node* minRight = cur->_right;
						while (minRight->_left)
						{
							parent = minRight;
							minRight = minRight->_left;
						}

						cur->_key = minRight->_key;
						if (minRight == parent->_left)
						{
							parent->_left = minRight->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = minRight->_right;
						}
						delete minRight;
					}

					return true;
				}
			}

			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

		bool InsertR(const K& key)
		{
			return _InsertR(_root, key);
		}

		bool FindR(const K& key)
		{
			return _FindR(_root, key);
		}

		bool EraseR(const K& key)
		{
			return _EraseR(_root, key);
		}

	private:
		void Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;

			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
		}

		Node* Copy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return nullptr;

			Node* newRoot = new Node(root->_key);
			newRoot->_left = Copy(root->_left);
			newRoot->_right = Copy(root->_right);

			return newRoot;
		}

		bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return false;
			}

			if (root->_key < key)
			{
				return _EraseR(root->_right, key);
			}
			else if (root->_key > key)
			{
				return _EraseR(root->_left, key);
			}
			else
			{
				Node* del = root;
				if (root->_right == nullptr)
				{
					root = root->_left;
				}
				else if (root->_left == nullptr)
				{
					root = root->_right;
				}
				else
				{
					Node* minRight = root->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						minRight = minRight->_left;
					}

					swap(root->_key, minRight->_key);

					// 转换成在子树中去删除节点
					return _EraseR(root->_right, key);
				}

				delete del;

				return true;
			}
		}

		bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				root = new Node(key);
				return true;
			}

			if (root->_key < key)
				return _InsertR(root->_right, key);
			else if (root->_key > key)
				return _InsertR(root->_left, key);
			else
				return false;
		}

		bool _FindR(Node* root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
				return false;

			if (root->_key < key)
				return _FindR(root->_right, key);
			else if (root->_key > key)
				return _FindR(root->_left, key);
			else
				return true;
		}

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

​