最近看了一个有意思的视频。这个视频通过一个游戏的博弈论模型，测算出股市中庄家赚钱的概率问题。我把这个视频中的方法整理成文字，希望能对大家有所启发。
首先，我们要弄明白数学期望的概念。
数学期望是一个统计学的概念，是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它发映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。并且，大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
上面这段话听起来有些拗口。我们来举个例子说明一下。
咱们都玩过掷筛子的游戏。每掷一次筛子，1到6六个数字出现的概率是一样的，都是1/6。
那么，掷筛子这个游戏的数学期望就是1*1/6+2*1/6+………6*1/6=3.5。3.5这个数值就是这个游戏变量输出值的平均数，它并不包含在变量的输出值集合里，即不包含在1到6这六个数字里。
此外，如果把掷筛子这个动作重复许多次，次数接近于无穷大，那么这个游戏输出的数值的算术平均值（即把每次掷筛子的数值相加后的结果除以掷筛子的次数），将无限接近于3.5这个数值。
下面进入正题。
先说一下这个叫做“美女与男人”的游戏是怎么玩的。
有一天，一个男人在酒吧里独自喝酒。这时一位美女向他走过来，对他说，咱们来玩一个游戏吧？男人满口答应，问怎么玩？美女说，咱们现在每个人拿一个硬币在手里，咱们两个人把硬币出一面，你出一面，我出一面。如果这两个硬币都是正面，那我就给你3块钱，如果这两个硬币都是反面，那我就给你1块钱，如果这两个硬币一正一反，那么你给我2块钱。
男人在心里测算了一下，假设每一枚硬币出现正面或反面的概率都是1/2，因此，双正面出现的概率是1/4，双反面出现的概率是1/4，一正一反出现的概率是1/2。那么，男人玩一把这个游戏所获得的收益的数学期望是3*1/4+1*1/4﹣2*1/2=0。
男人在心里想，数学期望是0，说明这个游戏规则设计得很公平，而且还能和美女聊天，值得一玩。于是男人和美女进入了游戏环节。
可是玩了很长一段时间以后（注意这里的“很长时间”，后面会做出解释），男人发现自己虽然有时能够赢钱，但最后所赢到的钱还是全输给了美女连自己带的钱也都搭了进去。
看似一个公平的游戏，为什么输钱的总是男人呢？
为了向男人解释他的疑问，我们先来把这个游戏表格化，这样表述起来更清楚。
假设男人出正面的概率是x，男人出反面的概率则是1﹣x。女人出正面的概率是y，出反面的概率则是1﹣y。男人玩一把游戏获得的收益的数学期望为E。
那么，E=3xy+1*(1-x)(1-y)-2*[x(1-y)+y(1-x)]=8xy-3x-3y+1=（8x-3)y-3x+1。x,y∈[0,1]。
我们知道，大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。如果E是负的，那么也就说明，男人的总体收益是负的。
这也解释了上面那个“很长时间”的用意。只有重复次数接近无穷大，男人收益数值的算术平均值（即把每次收益的数值相加后的结果除以玩游戏的次数），才能无限接近于一个负数。
女人在想，有没有一种可能，可以以某一个y出正面，不论男人的x是多大，E总是负的呢？
下面我们来测算一下是否存在这样的y，不论男人的x是多大，使得E总是负的。
下面是推算过程：
一、
E=（8x-3)y-3x+1<0 ------>（8x-3)y<3x-1
假设8x-3>0
那么,（8x-3)y<3x-1------>y<（3x-1）/（8x-3)
z=（3x-1）/（8x-3) 是个减函数，即x越大，Z就越小。（减函数的这一特性可以通过画出这个函数的坐标图直观地表现出来）
如果要满足y<（3x-1）/（8x-3)，只需要满足y小于z的最小值即可。
Z什么时候达到最小呢？
答案是x最大的时候。当x=1是，z取得最小值2/5。
因此，当男人的正面概率x大于3/8时，女人的正面概率小于2/5，E就一定为负数。
二、
E=（8x-3)y-3x+1<0 ------>（8x-3)y<3x-1
假设8x-3<0,
那么,（8x-3)y<3x-1------>y>（3x-1）/（8x-3)
z=（3x-1）/（8x-3) 是个减函数，即x越大，Z就越小。
如果要满足y>（3x-1）/（8x-3)，只需要满足y大于z的最大值即可。
Z什么时候达到最大呢？
答案是x最小的时候。当x=0是，z取得最大值1/3。
因此，当男人的正面概率x小于3/8时，女人的正面概率大于1/3，E就一定为负数。
我们发现，这两种情况是有重复的，即当2/5>y>1/3时，不论男人出正面的概率有多大，E一定是负数，男人一定是总体上是输钱的。
换句话说，只要这个游戏玩的次数足够多，而且女人把自己出正面的概率控制在(1/3,2/5)这个区间内，那么男人总体上一定是赔钱的，女人总体上一定是赚钱的。
这个游戏和股市有什么关系呢？
女人代表了股市里的庄家，她可以拉升股价（出正面），也可以打压股价（出反面），而男人代表了股市里的散户，他可以做多（出正面），也可以做空（出反面）。
当庄家做空（出反面），散户也跟着做空（出反面）时，散户是赚钱的。当庄家做多（出正面），散户也跟着做空多（出正面）时，散户也是赚钱的。而当庄家做空（出反面），散户也跟着做多（出正面）时，散户是赔钱的。
需要注意的是，这个游戏的博弈论模型是一种理想化的状态，比如这个模型把每种情况的赢利设定为固定数值。而实际的股市有更多的变量需要考虑，远比这个模型复杂得多。
以上为一个游戏所反映的股市概率问题，希望对你有所帮助。