【ACM】算法题-数字三角形 （数学）（动态规划）（C++）

数字三角形

题目

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5 （图一）

图一表示一个5行的数字三角形。假设给定一个n行数字三角形,计算出从三角形顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。 每一步只能由当前位置向下或向右下。

输入

你的程序要能接受标准输入。第一行包含一个整数T，表示总的测试次数。
对于每一种情况：第一行包含一个整数N,其中1 < N < 100,表示三角形的行数。
接下来的N行输入表示三角形的每一行的元素Ai,j，其中0 < Ai,j < 100。

输出

输出每次测试的最大值并且占一行。

样例输入[复制](javascript:CopyToClipboard($(‘#sampleinput’).text()))

1 
5 
7 
3 8 
8 1 0  
2 7 4 4 
4 5 2 6 5

样例输出[复制](javascript:CopyToClipboard($(‘#sampleoutput’).text()))

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解析

这是一道难度二级的动态规划经典例题，在看到数字三角形的构造时，我们首先想到用二维数组来存放整个三角形（行与列），所求是路径最大数字和，也许有人会想到贪心算法来实现，但是贪心算法在这里是不适用的，因为凡事不能只看现在嘛，贪心中一次查找到大值，最后总值却不是，所以眼光放长，我们要的是最后的最大，来尝试用动态规划解决问题吧，用动态规划也有不同的思路和方法，首先我们的切入点是由下至上的回溯，依层次更换改动大值，回到顶端时，就是结果咯。

代码流程

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;


int main() {
    int T;
    cin >> T;//测试次数
    while (T--) {
        int a;
        cin >> a;//三角形行数
        int z[a][a];//数字三角形二维数组
        for (int i = 0; i < a; ++i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                cin >> z[i][j];
            }
        }//录入数字三角形
        int dp[a][a];
        for (int j = 0; j < a; ++j) {
            dp[a - 1][j] = z[a - 1][j];
        }//把最后一行的值录到dp里去，后续对最后一行进行层层递上操作
        for (int i = a - 2; i >= 0; i--) {//倒数第二行开始
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + z[i][j];//一个值加上成下方和右下方中最大的一个值
            }
        }
        cout << dp[0][0] << endl;

    }
}

手记草稿小流程（丑，但能看_——）

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总结

1.数学思想，发现规律

2.递推思想，操作效率

3.动态规划