CSDN竞赛23期题解

总结

这次竞赛还是有不错的题目的，树形背包问题平时见的不多，也帮助我巩固了下知识点。

题目列表

1.排查网络故障

题目描述

A地跟B地的网络中间有n个节点（不包括A地和B地），相邻的两个节点是通过网线连接。正常的情况下，A地和B地是可以连通的，有一天，A地和B地突然不连通了，已知只有一段网线出问题（两个相邻的节点）小明需要排查哪段网线出问题。他的排查步骤是：
1。 选择某个中间节点
2。 在这个节点上判断跟A地B地是否连通，用来判断那一边出问题

请问小明最少要排查多少次，才能保证一定可以找到故障网线

输入描述：

一个正整数 n (n <= 10^18)，表示A地和B地之间的节点数

输出描述：

输出一个数字，代表保证一定可以找到故障网线的前提下，小明最少要排查多少次

输入样例：

2

输出样例：

2

分析

本题要求的是二分的次数，枚举下前几个数找下规律。中间有1个数需要排查1次；2个数需要排查2次，3个数需要排查2次，4个数需要排查3次，可以发现需要排查的次数等于中间节点个数的字长，输出下即可。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
	long int n;
	std::cin>>n;
	int res = 0;
	while(n) {
		res++;
		n >>= 1;
	}
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}

2.零钱兑换

题目描述

给定数组arr，arr中所有的值都为正整数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个aim，代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
如果无解，请返回-1.

数据范围：数组大小满足 0 <= n <=10000 ， 数组中每个数字都满足 0 < val <=10000，0 <= aim <=100000

要求：时间复杂度 O(n×aim) ，空间复杂度 O(aim)。

输入描述：

无

输出描述：

无

输入样例：

[5,2,3],20

输出样例：

4

分析

这题也挺坑的，本来是简单的背包问题。牛客网是有评测原题的NC126 兑换零钱(一)，但是本题的数据范围显然有问题，要求时间复杂度是O(n×aim)，但是n乘上aim数量级是$10^9$的，显然会TLE。

状态转移方程是$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-v[i]])$，使用滚动数组后可以得到$f[j]=min(f[j],f[j-v[i]])$。

当然，题目的输入格式对c++选手是不友好的，虽然处理起来不难，多少也得多加几行代码才能处理输入。这题竞赛时过了八成用例，当时觉得是复杂度太大就做下一题了，看了下AC同学的题解也都是相同的方法求解，没有通过的两个用例倒是不太明白为啥没有过，相同代码提交到牛客上是可以通过的。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int f[100005];
int a[10005];
int main() {
	std::string str1;
	char c = getchar();
	int n = 0;
	int x, m;
	while(c != ']') {
		cin>>x;
		a[n++] = x;
		c = getchar();
	}
	getchar();
	cin>>m;
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0] = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			if (j >= a[i]) f[j] = min(f[j], f[j - a[i]] + 1);
		}
	}
	if (f[m] == 0x3f3f3f3f) cout<<-1<<endl;
	else cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

3.清理磁盘空间

题目描述

小明电脑空间满了，决定清空间。为了简化问题，小明列了他个人文件夹（/data）中所有末级文件路径和大小，挑选出总大小为 m 的删除方案，求所有删除方案中，删除操作次数最小是多少。

一次删除操作：删除文件或者删除文件夹。如果删除文件夹，那么该文件夹包含的文件都将被删除。
文件夹的大小：文件夹中所有末级文件大小之和

输入描述：

第一行输入 n （n <= 1000）和 m（m <= 1000），表示文件数量，和需要删除的大小

接下去有 n 行，每一行都是一个文件绝对路径（路径长度小于 100），和这个文件的大小（小于 1000）

输出描述：

输出所有删除方案中，删除操作次数最小是多少。如果找不到恰好删除的大小为 m 的方案，则打印 -1

输入样例：

6 10
/data/movie/a.mp4 5
/data/movie/b.mp4 3
/data/movie/c.mp4 2
/data/movie/d.mp4 4
/data/picture/a.jpg 4
/data/picture/b.jpg 1

输出样例：

2

分析

本题是这次竞赛的压轴题，虽然在树形背包里面不属于难题，但是很久没做树形背包的问题还是很难想到的。树形背包问题的模板题可以参考AcWing286 选课。在选课问题的基础上再来看这题就不难解决了。

首先需要根据输入的字符串建树，以"/data/movie/a.mp4"为例，遍历一遍，将"/data" “/data/movie” "/data/movie/a.mp4"都存到hash表里映射成整数，建立父子节点关系。之后就是在dfs的过程中进行状态转移了。

状态表示：$f[u][t]$表示以$u$为根的子树中删除总大小为$t$的节点需要删除操作的最小次数，要求一个节点不能和它的祖先节点同时被删除。状态转移方程为：$f[u][t]=min(f[u][t],f[u][t-k]+f[j][k])$，这样遍历完$u$的孩子节点后相当于求出了留下$u$删除$u$的若干个后代的状态，然后再更新下只删除$u$的状态$f[u][w[u]]=1$，表示删除$u$目录后删除了$w[u]$大小的文件需要的删除操作次数是1。

树形背包的具体推导和优化可以参考前面的选课问题的题解，这里仅仅说下这个问题的不同之处，本题的最优化方案是最小值，所以初始状态应该设置为INF，同时设置$f[i][0]=0$表示不删除文件的操作次数是0。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
unordered_map<string,int> m;
const int M = 1005, N = 400005;
int f[N][M];
int n,d,cnt = 0;
int idx,e[N],ne[N],w[N],h[N];
void add(int a, int b) {
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void split(string &s,int q) {
	int n = s.size();
	string t;
	int last = -1;
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		if (s[i] == '/' || i == n) {
			if (!m.count(t))	m[t] = cnt++;
			int j = m[t];
			w[j] += q;
			if (last != -1)	add(last, j);
			last = m[t];
		} else {
			t += s[i];
		}
	}
}
int dfs(int u) {
	int s = w[u];
	for(int i = h[u];~i;i = ne[i]) {
		int j = e[i];
		int q = dfs(j);
		s += q;
		int tot = min(s + 1, d);
		for (int t = tot; t >= 0;t--) {
			int r = min(t,q);
			for (int k = 0;k <= r;k++) {
				f[u][t] = min(f[u][t], f[u][t-k] + f[j][k]);
			}
		}
	}
	if (w[u] <= d)	f[u][w[u]] = 1;
	return s;
}
int main() {
	cin>>n>>d;
	string s;
	int x;
	memset(h,-1,sizeof h);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for (int i = 0;i < n;i++) {
		cin>>s>>x;
		split(s,x);
	}
	int u = m["data"];
	for(int i = 0;i < cnt;i++)	f[i][0] = 0;
	dfs(u);
	cout<<f[u][d]<<endl;
	return 0;
}

4.交际圈

题目描述

小明参加了个大型聚会。聚会上有n个人参加，我们将他们编号为1…n，有些人已经互相认识了，有些人还不认识。聚会开始后，假设A跟B认识，A会给所有他认识的人介绍B，原先跟A认识，但不认识B的人，都会在此时，跟B互相认识。当所有人都把自己认识的人介绍一遍后，此时n个人就会形成k个交际圈，同一个交际圈中，两两互相认识，不同的交际圈之间，互相不认识
问题：当所有人都把自己认识的人介绍一遍后，形成了多少个交际圈

输入描述：

第1行包含两个数字n(n <= 100000), m(m <= 100000)，n表示参加聚会的人数，m表示聚会前，有多少对人已经互相认识了
第2行到第m+1行，每一行包含两个数字，a和b(a != b, 1 <= a, b <= n)，代表的是聚会前，a和b已经互相认识

输出描述：

输出一个数字，表示形成的交际圈的个数

输入样例：

3 3
1 2
1 3
2 3

输出样例：

1

分析

并查集裸题，建立集合后统计下集合数即可。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 100005;
int fa[N];
set<int> s;
int find(int x) {
	if (fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);
	return fa[x];
}
int main() {
	int n;
	int m;
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	int a, b;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cin>>a>>b;
		fa[find(a)] = find(b);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int t = find(i);
		s.insert(t);
	}
	int res = s.size();
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}