四元数总结

1. 基本概念

• 空间中的子空间:
  一般而言，空间（维度>2）都存在更低维的子空间。比如二维空间中一维子空间，也就是直线；三维空间中的一维子空间和二维子空间，也就是直线和面。

• 空间和子空间的映射：我们将二维空间表示为(x,y)，当y=0时，其实可以看成是一维的，只不过它表示成(x,0)这种形式。推到四维，(w,x,y,z)，当w=0时，(0,x,y,z)就是一个三维子空间，这也是为什么我们可以用单位四元数对三维向量进行操作，其实我们是将三维向量映射到思维的三维子空间中，然后对其进行旋转，最终得到的向量结果依然是这个三维子空间中的，因而可以映射回三维空间。

• 广义球 ： 我们在二维平面上，广义球只带cirecle， 三维空间上就是我们认知上的球，称为two-sphere。 而四维空间中广义球其实是一个超球（hyper-sphere),又称为three-sphere。单位向量其实就是广义球上面的点，而单位四元数也就是three-sphere上面的点。

• 特征与特征向量： 空间中的一点由x,y,z等参数来表示，一般来说参数的数量与维度相等，二维空间的点用{x,y}参数，四维空间的点用{x,y,z,w}参数。但是对于空间的点加以约束，则会减少参数的数量。比如三维空间的点在某一单位球面上，原本三个参数{x, y, z}才能表达的点现在只需要两个参数{u, v}就可以表达。如果{u, v}是单位向量，也可以称{u, v}是{x, y, z}的特征向量。

• 四元数是四维空间中一个超球上面的点，满足$w^2+x^2+y^2+z^2=1$;而纯四元数是四维空间在w=0时的一个子控件的点，形式为$\{0，q\}$,特别注意的是纯四元数与四元数是不同的概率。

• 四元数是复数虚部扩展的结果，复数的虚部为1个，而四元数的虚部有三个，且两两互相正交，其中实部是$cos\theta /2$,而虚部为一个单位轴乘以$sin\theta /2$

• 四元数自由度并没有四个维度，由于存在$w^2+x^2+y^2+z^2=1$这个约束，它的自由度其实只有3，且每个四元数可以对应一个特征向量，即$n$。注意四元数并不是与特征向量意一一对应的。
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四元数通常定义为
$$\mathbf{q}=q_0+q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k}$$
其中$i,j,k$满足
$$\begin{gathered} {\mathbf{i}}^2=-1,{\mathbf{j}}^2=-1,{\mathbf{k}}^2=-1 \\ \mathbf{ij}=-\mathbf{ji}=\mathbf{k},\mathbf{jk}=-\mathbf{kj}=\mathbf{i},\mathbf{ki}=-\mathbf{ik}=\mathbf{j} \end{gathered}$$

$q_0$是四元数的实数或标量部分， $q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k}$是虚数或矢量部分。因此，四元数也可以写成四维列矩阵，由下式给出：
$\mathbf{q}=\left[\begin{array}{c}{q}_0\\ \mathbf{v}\end{array}\right]=[q_0,q_1,q_2,q_3{]}^T$。

如果$q_0,\mathbf{v}$满足

v = [ k x s i n ( θ / 2 ) k x s i n ( θ / 2 ) k x s i n ( θ / 2 ) ] = k ^ s i n ( θ / 2 ) , q 0 = c o s ( θ / 2 ) \mathbf v =\begin{bmatrix} k_xsin(\theta/2) \\k_xsin(\theta/2) \\k_xsin(\theta/2)\end{bmatrix} = \hat k sin(\theta / 2), q_0 = cos(\theta / 2) v= ​kx​sin(θ/2)kx​sin(θ/2)kx​sin(θ/2)​ ​=k^sin(θ/2),q0​=cos(θ/2)
元素$q_0、\dots 、q3$被称为“旋转四元数”或“欧拉对称参数”（Euler symmetric parameters）。描述了沿轴的单位向量和旋转角。

2. 四元数的表示方法

复数式 ： $\mathbf{q}=q_0+q_1\mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k}$
矢量式 ： $\mathbf{q}=q_0+\mathbf{v}$
三角式 ： $\mathbf{q}=cos(\theta /2)+\hat{k}sin(\theta /2)$

四元数$cos\theta /2+i\ast sin\theta /2$就表示“绕矢量 $\hat{k}$ 旋转θ角

指数式 ：$\mathbf{q}=e^{\hat{k}\frac{\theta }{2}}$
矩阵式 ： $\mathbf{q}=[q_0,q_1,q_2,q_3{]}^T$

3. 四元数的性质

假设现在有两个四元数 ${\mathbf{q}}_a=q_a+{\mathbf{v}}_a$,${\mathbf{q}}_b=q_b+{\mathbf{v}}_b$

• 加法： ${\mathbf{q}}_a+{\mathbf{q}}_b=[q_a+q_b,{\mathbf{v}}_a+{\mathbf{v}}_b{]}^T$

• 乘法：${\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b=[q_a{q}_b-{\mathbf{v}}_a^T{\mathbf{v}}_b,{\mathbf{q}}_a{\mathbf{v}}_b+{\mathbf{q}}_b{\mathbf{v}}_a+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b{]}^T$

• 模长：$||{\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b||=||{\mathbf{q}}_a||\cdot ||{\mathbf{q}}_b||$

• 共轭：
  四元数的共轭是把虚数写成相反数：${\mathbf{q}}_a^{\ast }=q_a-{\mathbf{v}}_a$
  四元数共轭与其本身相乘，会得到一个实四元数，其实部为模长的平方：
  ${\mathbf{q}}^{\ast }\mathbf{q}=\mathbf{q}{\mathbf{q}}^{\ast }=[q_a^2+{\mathbf{v}}_a^T{\mathbf{v}}_a,0{]}^T$

• 逆：
  一个四元数的逆为
  ${\mathbf{q}}^{-1}={\mathbf{q}}^{\ast }/||\mathbf{q}|{|}^2$
  如果$\mathbf{q}$为单位四元数，其逆和共轭就是同一个量。
  同时，乘积的逆具有和矩阵相似的性质：
  $({\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b{)}^{-1}={\mathbf{q}}_b^{-1}{\mathbf{q}}_a^{-1}$

• 数乘：$k{\mathbf{q}}_a=[k{q}_a,k{\mathbf{v}}_a{]}^T$

4. 四元数乘法

• 复数式
  q ⊗ p = ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) ( p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k ) = [ p 0 q 0 − p 1 q 1 − p 2 q 2 − p 3 q 3 p 1 q 0 + p 0 q 1 + p 2 q 3 − p 3 q 2 p 2 q 0 + p 0 q 2 + p 3 q 1 − p 1 q 3 p 3 q 0 + p 0 q 3 + p 1 q 2 − p 2 q 1 ] \mathbf q \otimes \mathbf p=(q_0 + q_1\mathbf i + q_2\mathbf j + q_3\mathbf k)(p_0 + p_1\mathbf i + p_2\mathbf j + p_3\mathbf k )\\ = \begin{bmatrix} p_0q_0 - p_1q_1 - p_2q_2 -p_3q_3\\ p_1q_0 + p_0q_1 + p_2q_3 -p_3q_2 \\ p_2q_0 + p_0q_2 + p_3q_1 -p_1q_3 \\ p_3q_0 + p_0q_3 + p_1q_2 -p_2q_1\end{bmatrix} q⊗p=(q0​+q1​i+q2​j+q3​k)(p0​+p1​i+p2​j+p3​k)= ​p0​q0​−p1​q1​−p2​q2​−p3​q3​p1​q0​+p0​q1​+p2​q3​−p3​q2​p2​q0​+p0​q2​+p3​q1​−p1​q3​p3​q0​+p0​q3​+p1​q2​−p2​q1​​ ​

• 矢量式
  $$\begin{gathered} \mathbf{q}\otimes \mathbf{p}=(q_0+{\mathbf{v}}_a)(p_0+{\mathbf{v}}_b) \\ =q_0{p}_0+q_0{\mathbf{v}}_b+p_0\mathbf{v}+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b-{\mathbf{v}}_a\cdot {\mathbf{v}}_b \\ =q_0{p}_0-{\mathbf{v}}_a\cdot {\mathbf{v}}_b+q_0{\mathbf{v}}_b+p_0{\mathbf{v}}_a+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b \end{gathered}$$

其中$q_0{p}_0-{\mathbf{v}}_a\cdot {\mathbf{v}}_b$为标量部分,$q_0{\mathbf{v}}_b+p_0{\mathbf{v}}_a+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b$为矢量部分
注意 ${\mathbf{v}}_b,{\mathbf{v}}_a$矢量相乘的结果等于叉乘的结果减去点乘的结果

• 矩阵式 ：
  $\mathbf{q}=[q_0,q_1,q_2,q_3{]}^T$
  $\mathbf{p}=[p_0,p_1,p_2,p_3{]}^T$
  q ⊗ p = ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) ( p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k ) = [ p 0 − p 1 − p 2 − p 3 p 1 p 0 − p 3 p 2 p 2 p 3 p 0 − p 1 p 3 − p 2 p 1 p 0 ] [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] = [ q 0 − q 1 − q 2 − q 3 q 1 q 0 q 3 − q 2 q 2 − q 3 q 0 q 1 q 3 q 2 − q 1 q 0 ] [ p 0 p 1 p 2 p 3 ] = [ q 0 − v a T v a q 0 I 3 × 3 + [ v a × ] ] [ p 0 v b ] = [ q 0 p 0 − v a T v b p 0 v a + q 0 v b + v a × v b ] = L ( q ) p = [ p 0 − v b T v b p 0 I 3 × 3 − [ v b × ] ] [ q 0 v a ] = R ( p ) q \mathbf q \otimes \mathbf p=(q_0 + q_1\mathbf i + q_2\mathbf j + q_3\mathbf k)(p_0 + p_1\mathbf i + p_2\mathbf j + p_3\mathbf k )\\{}\\ = \begin{bmatrix} p_0 & -p_1&-p_2&-p_3\\ p_1 & p_0 & -p_3 & p_2\\ p_2 & p_3 & p_0 & -p_1\\ p_3 & - p_2 & p_1 & p_0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0\\ q_1\\q_2\\ q_3\end{bmatrix} \\{}\\ = \begin{bmatrix} q_0 & -q_1&-q_2&-q_3\\ q_1 & q_0 & q_3 & -q_2\\ q_2 & -q_3 & q_0 & q_1\\ q_3 & q_2 & -q_1 & q_0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0\\ p_1\\p_2\\ p_3\end{bmatrix}\\{}\\ = \begin{bmatrix} q_0 &-\mathbf v_a^T\\ \mathbf v_a & q_0\mathbf I_{3\times3} +[\mathbf v_a\times]\end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0\\ \mathbf v_b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0p_0 -\mathbf v_a^T \mathbf v_b\\ p_0\mathbf v_a + q_0 \mathbf v_b + \mathbf v_a\times \mathbf v_b \end{bmatrix} \\ =\mathcal L(\mathbf q)\mathbf p \\{}\\ = \begin{bmatrix} p_0 &-\mathbf v_b^T\\ \mathbf v_b & p_0\mathbf I_{3\times3} -[\mathbf v_b\times]\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0\\ \mathbf v_a\end{bmatrix} \\ =\mathcal R(\mathbf p)\mathbf q q⊗p=(q0​+q1​i+q2​j+q3​k)(p0​+p1​i+p2​j+p3​k)= ​p0​p1​p2​p3​​−p1​p0​p3​−p2​​−p2​−p3​p0​p1​​−p3​p2​−p1​p0​​ ​ ​q0​q1​q2​q3​​ ​= ​q0​q1​q2​q3​​−q1​q0​−q3​q2​​−q2​q3​q0​−q1​​−q3​−q2​q1​q0​​ ​ ​p0​p1​p2​p3​​ ​=[q0​va​​−vaT​q0​I3×3​+[va​×]​][p0​vb​​]=[q0​p0​−vaT​vb​p0​va​+q0​vb​+va​×vb​​]=L(q)p=[p0​vb​​−vbT​p0​I3×3​−[vb​×]​][q0​va​​]=R(p)q

5. 用四元数表示旋转

假设有一个空间三维点$\mathbf{p}=[x,y,z]\in {\mathbb{R}}^3$,以及一个由单位四元数$\mathbf{q}$指定的旋转。三维点$\mathbf{p}$经过旋转之后变为${\mathbf{p}}^{\prime }$。如果使用矩阵描述，那么有${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{Rp}$，如果用四元数描述旋转，则表示为${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{qp}{\mathbf{q}}^{-1}$

此处的乘法均为四元数乘法，结果也是四元数。最后把${\mathbf{p}}^{\prime }$的虚部取出来，即得到旋转之后的点的坐标。

证明 ： 假设单位四元数$\mathbf{q}=[q_0,{\mathbf{v}}_a{]}^T$，三维点$\mathbf{p}=[0,{\mathbf{v}}_b{]}^T$

乘法：${\mathbf{q}}_a{\mathbf{q}}_b=[q_a{q}_b-{\mathbf{v}}_a^T{\mathbf{v}}_b,{\mathbf{q}}_a{\mathbf{v}}_b+{\mathbf{q}}_b{\mathbf{v}}_a+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b{]}^T$

则有$\mathbf{r}=\mathbf{qp}=[-{\mathbf{v}}_a^T{\mathbf{v}}_b,q_0{\mathbf{v}}_b+{\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b{]}^T$

${\mathbf{q}}^{-1}={\mathbf{q}}^{\ast }/||\mathbf{q}|{|}^2$，所以单位四元数的逆即为${\mathbf{q}}^{\ast }$

则${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{qp}{\mathbf{q}}^{-1}=\mathbf{r}{\mathbf{q}}^{\ast }$
其实部为${\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b\cdot {\mathbf{v}}_a$
由于${\mathbf{v}}_a\times {\mathbf{v}}_b$ 和${\mathbf{v}}_a$垂直，因此${\mathbf{p}}^{\prime }$的实部为0，即旋转后的点仍然是一个虚四元数

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/27471300
https://blog.csdn.net/benchuspx/article/details/108523498