高中奥数 2021-08-21

2021-08-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P017 例07）

在凸五边形中,,..求证:.

证明

图1

如图,过点作于,于是只需证明、、三线共点.

因为,所以

又,则

所以.

故.(1)

在和中应用正弦定理有

,.(2)

又,,则

$\begin{aligned} & \frac{\sin \angle E A H}{\sin \angle H A B} \cdot \frac{\sin \angle A B D}{\sin \angle D B E} \cdot \frac{\sin \angle B E C}{\sin \angle C E A} \\ =& \frac{\sin \angle B E D}{\sin \angle E B C} \cdot \frac{\sin \angle A B D}{\sin \angle D B E} \cdot \frac{\sin \angle B E C}{\sin \angle C E A} \\ =& \frac{\sin \angle B E D}{\sin \angle D B E} \cdot \frac{\sin \angle A B D}{\sin \angle C E A} \cdot \frac{\sin \angle B E C}{\sin \angle E B C} \\ =& \frac{B D \cdot A E \cdot E C \cdot B C}{E D \cdot A B \cdot B D \cdot E C}=\frac{A E \cdot B C}{E D \cdot A B}=1 . \end{aligned}$

由关于的角元塞瓦定理的逆定理知、、三线共点.

因为,所以.

2021-08-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P018 例08）

如图,点、是的外接圆上(异于、、)的两点,点关于直线、、的对称点分别是、、,连结、、分别与直线、、交于点、、.求证:

(1)、、三点共线;

(2)、、三点共线.

图2

证明

(1)设从点向、、作垂线,垂足分别为、、.

由对称知为的中位线,故.

同理,.

又由西姆松定理知、、三点共线.

故、、三点共线.

(2)因为、、、四点共圆,所以.

所以.

又,故,即.

从而.

同理,.

所以,(这里注意到,,).

于是

$\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B}=\frac{S_{\triangle Q B U}}{S_{\triangle Q C U}} \cdot \frac{S_{\triangle Q C V}}{S_{\triangle Q A V}} \cdot \frac{S_{\triangle W A Q}}{S_{\triangle W B Q}}=1 .$ .

故由梅氏定理逆定理知、、三点共线.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P019 例09）

如图,一圆与的三边、、的交点依次为、、、、、.线段与交于点,与交于点,与交于点.求证:、、三线共点.(2005年中国数学奥林匹克)

图3

证明

连结、、,于是,,,,,,.

分别对和点、和点、和点应用角元塞瓦定理有

则.(1)

同理,有

.(2)

综上所述,有

由角元塞瓦定理的逆定理知、、三线共点.

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