机器学习基础·线代基本概念的几何引注

摘要

向量、线性组合、张成空间、基、线性变换、矩阵乘法、行列式、零空间、点积、基变换、特征向量、特征值

正文

1. 向量
   向量在不同的基下具有不同的表达，但无论基如何变化，有一点是共同的，这些基的原点不变。一般情况下的表达隐含了单位矩阵作为基，可以看作是从原点出发沿各分量相继衔接而得到，每个分量的长度为该分量的值，即。

2. 向量加法和数乘
   在隐含为基的情况下，是由和向量首尾相接得到；而数乘就是向量的缩放，其方向不变。

3. 线性组合、张成空间、线性相关，线性无关，基
   线性组合：一组向量通过加法和数乘得到新向量的过程。
   张成空间：向量通过线性组合得到的新向量集合。一个向量就是张成的空间就是一条与向量同方向的直线；两个不共线的向量张成一个平面；三个不共面的向量张成三维空间，等等。
   线性相关：一个向量组中，存在一个向量在其他向量张成的空间中。
   线性无关：一个向量组中，每一个向量都不在其他向量张成的空间中。
   基：线性无关组。

4. 矩阵与线性变换
   线性变换：同一个向量在不同基下的表达。要求原点不变，变换后的坐标比例均匀不扭曲。线性变换通过矩阵来实现，矩阵的每一列代表“旧基”的第维在“新基”下的维坐标表示。表示“旧基”下维向量在的作用下变换为维向量。此时由于变换不改变向量本质，因此新向量就可以由向量的分量乘上“新基”得到，也就是。。
   另：从方程的观点来看确定是否有解，相当于确定向量是否在列向量张成的空间中。一般方程的解就3种情况，一个解，无解，无穷多解。

5. 矩阵乘法
   矩阵代表线性变换，那么矩阵乘法代表一个向量连续的变换，代表向量先经过的变换，再经过的变换最后得到。那么表示使用代表的复合变换。

6. 行列式
   矩阵表示线性变换，它的行列式表示变换后的空间的体积是“原”空间的倍。表示空间发生了维度压缩，即空间在“新基”下没有体积了；表示在线性变换过程中基的方向相反了。

7. 矩阵逆、列空间、秩、零空间
   矩阵逆：矩阵的逆表示为，向量通过变换为，那么通过变换为。
   列空间、秩：矩阵所代表的“新基”张成的空间，张成空间的维度称为秩。
   零空间(核)：变换后是零向量（原点）的向量，即。

8. 点积(内积)
   一个向量投影到另一个向量上的线性变换，即向量到一维的线性变换。

9. 基变换
   若代表“旧基”下的线性变换，则代表在"新基"下进行的变换，得到的是“新基”下的表达。

10. 特征向量、特征值
    特征向量：变换后的向量仍然在原向量张成的空间（直线）上，就是方向不变。
    特征值：缩放的倍数。
    求解：寻找使得就是要使得矩阵代表的变换压缩维度，即
    特征基：使用特征向量作为基，此时变换变为对角阵，并不是所有的矩阵都能变换为对角阵。

参考资料

[1] https://space.bilibili.com/88461692/channel/detail?cid=9450
[2] Goodfellow.深度学习[M].人民邮电出版社,2017.