POJ 1681 Painter's Problem(高斯消元法）

Painter's Problem

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Description

There is a square wall which is made of n*n small square bricks. Some bricks are white while some bricks are yellow. Bob is a painter and he wants to paint all the bricks yellow. But there is something wrong with Bob's brush. Once he uses this brush to paint brick (i, j), the bricks at (i, j), (i-1, j), (i+1, j), (i, j-1) and (i, j+1) all change their color. Your task is to find the minimum number of bricks Bob should paint in order to make all the bricks yellow.

Input

The first line contains a single integer t (1 <= t <= 20) that indicates the number of test cases. Then follow the t cases. Each test case begins with a line contains an integer n (1 <= n <= 15), representing the size of wall. The next n lines represent the original wall. Each line contains n characters. The j-th character of the i-th line figures out the color of brick at position (i, j). We use a 'w' to express a white brick while a 'y' to express a yellow brick.

Output

For each case, output a line contains the minimum number of bricks Bob should paint. If Bob can't paint all the bricks yellow, print 'inf'.

Sample Input

2

3

yyy

yyy

yyy

5

wwwww

wwwww

wwwww

wwwww

wwwww

Sample Output

0

15

Source

POJ Monthly--2004.06.27 张嘉龄

 

 

题意“：

一个n*n 的木板 ，每个格子 都 可以 染成 白色和黄色，（ 一旦我们对也个格子染色 ，他的上下左右 都将改变颜色）；

给定一个初始状态 ， 求将 所有的 格子 染成黄色 最少需要染几次？  若 不能 染成 输出 inf。

 

题解:

和1222开关 问题一样，只不过是 将 开关 换成了 染色。

 

/*

POJ 1681

*/



#include<stdio.h>

#include<algorithm>

#include<math.h>

#include<string.h>

#include<iostream>

using namespace std;



const int MAXN=300;



//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.

int equ,var;

int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵

int x[MAXN];//解集



bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元

int free_num;//不确定变元个数





void Debug(void)

{

    int i, j;

    for (i = 0; i < equ; i++)

    {

        for (j = 0; j < var + 1; j++)

        {

            cout << a[i][j] << " ";

        }

        cout << endl;

    }

    cout << endl;

}



int  Gauss()

{

    int i,j,k;

    int max_r;

    int col;

    int temp;



    int free_x_num;

    int free_index;



    col=0;

    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)

    {

        max_r=k;

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {

            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))max_r=i;

        }

        if(max_r!=k)

        {

            for(j=col;j<var+1;j++)swap(a[k][j],a[max_r][j]);

        }

        if(a[k][col]==0)

        {

            k--;

            continue;

        }

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {

            if(a[i][col]!=0)

            {

                for(j=col;j<var+1;j++)

                  a[i][j]^=a[k][j];

            }

        }

    }

    for(i=k;i<equ;i++)

    {

        if(a[i][col]!=0)return -1;//无解

    }

    for(i=var-1;i>=0;i--)

    {

        x[i]=a[i][var];

        for(j=i+1;j<var;j++)

          x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);

    }

    return 0;

}





int n;



void init()

{

    memset(a,0,sizeof(a));

    memset(x,0,sizeof(x));

    memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.

    equ=n*n;

    var=n*n;

    for(int i=0;i<n;i++)

       for(int j=0;j<n;j++)

       {

           int t=i*n+j;

           a[t][t]=1;

           if(i>0)a[(i-1)*n+j][t]=1;

           if(i<n-1)a[(i+1)*n+j][t]=1;

           if(j>0)a[i*n+j-1][t]=1;

           if(j<n-1)a[i*n+j+1][t]=1;

       }

}

char str[20];



int main()

{

  //  freopen("in.txt","r",stdin);

  //  freopen("out.txt","w",stdout);

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d",&n);

        init();

        for(int i=0;i<n;i++)

        {

            scanf("%s",&str);

            for(int j=0;j<n;j++)

            {

                if(str[j]=='y')a[i*n+j][n*n]=0;

                else a[i*n+j][n*n]=1;

            }

        }

        int t=Gauss();

        if(t==-1)

        {

            printf("inf\n");

            continue;

        }



        int ans=0;

        for(int i=0;i<n*n;i++)

          if(x[i]==1)ans++;



        printf("%d\n",ans);

    }

    return 0;

}

 

 

其实上面的做法并不是正确的。

要枚举所以自由变元的值来找最小的。

具体可以 看POJ 1753  这种方法就会WR

下面是我认为比较严谨的做法：、

/*

POJ 1681

*/



#include<stdio.h>

#include<algorithm>

#include<math.h>

#include<string.h>

#include<iostream>

using namespace std;

const int INF=0x3fffffff;

const int MAXN=300;



//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.



int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵

int x[MAXN];//解集



int free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元

int free_num;//不确定变元个数



// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，

//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)

//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.

int Gauss(int equ,int var)

{

    int i,j,k;

    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.

    int col;//当前处理的列

    int ta,tb;

    int LCM;

    int temp;

    int free_index;

    int num=0;

    for(int i=0;i<=var;i++)

    {

        x[i]=0;

        free_x[i]=0;

    }

    //转换为阶梯阵.

    col=0; // 当前处理的列

    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)

    {// 枚举当前处理的行.

// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)

        max_r=k;

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {

            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;

        }

        if(max_r!=k)

        {// 与第k行交换.

            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);

        }

        if(a[k][col]==0)

        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.

            k--;

            free_x[num++]=col;

            continue;

        }

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {// 枚举要删去的行.

            if(a[i][col]!=0)

            {

              //  LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));

              //  ta = LCM/abs(a[i][col]);

              //  tb = LCM/abs(a[k][col]);

              //  if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加

                for(j=col;j<var+1;j++)

                {

                    a[i][j] ^= a[k][j];

                }

            }

        }

    }



    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).

    for (i = k; i < equ; i++)

    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.

        if (a[i][col] != 0) return -1;

    }

    int stat=1<<(var-k);//自由变元有 var-k 个

    int res=INF;

    for(i=0;i<stat;i++)//枚举所有变元

    {

        int cnt=0;

        int index=i;

        for(j=0;j<var-k;j++)

        {

            x[free_x[j]]=(index&1);

            if(x[free_x[j]]) cnt++;

            index>>=1;

        }

        for(j=k-1;j>=0;j--)

        {

            int tmp=a[j][var];

            for(int l=j+1;l<var;l++)

              if(a[j][l]) tmp^=x[l];

            x[j]=tmp;

            if(x[j])cnt++;

        }

        if(cnt<res)res=cnt;

    }

    return res;

}



int n;



void init()

{

    memset(a,0,sizeof(a));

    memset(x,0,sizeof(x));

    memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.

    for(int i=0;i<n;i++)

       for(int j=0;j<n;j++)

       {

           int t=i*n+j;

           a[t][t]=1;

           if(i>0)a[(i-1)*n+j][t]=1;

           if(i<n-1)a[(i+1)*n+j][t]=1;

           if(j>0)a[i*n+j-1][t]=1;

           if(j<n-1)a[i*n+j+1][t]=1;

       }

}

char str[20];



int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    //freopen("out.txt","w",stdout);

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d",&n);

        init();

        for(int i=0;i<n;i++)

        {

            scanf("%s",&str);

            for(int j=0;j<n;j++)

            {

                if(str[j]=='y')a[i*n+j][n*n]=0;

                else a[i*n+j][n*n]=1;

            }

        }

        int t=Gauss(n*n,n*n);

        if(t==-1)

        {

            printf("inf\n");

            continue;

        }

        printf("%d\n",t);

    }

    return 0;

}