第十四届蓝桥杯大赛软件赛省赛(C/C++ 研究生组)

蓝桥杯 2023年省赛真题
C/C++ 大学G组

 试题 A: 工作时长
 试题 B: 与或异或
 试题 C: 翻转
 试题 D: 阶乘的和
 试题 E: 公因数匹配
 试题 F: 奇怪的数
 试题 G: 太阳
 试题 H: 子树的大小
 试题  I: 高塔
 试题 J: 反异或 01 串


除去第 F \rm F F 题,其他题目在其他组别都有出现过,这里就不重写了。


奇怪的数

时间限制: 1.0 s 1.0\mathrm s 1.0s 内存限制: 256.0 M B 256.0\mathrm{MB} 256.0MB 本题总分: 15 15 15


【问题描述】

  小蓝最近在找一些奇怪的数,其奇数数位上是奇数,而偶数数位上是偶数。同时,这些数的任意 5 5 5 个连续数位的和都不大于 m m m
  例如当 m = 9 m = 9 m=9 时, 10101 10101 10101 12303 12303 12303 就是奇怪的数,而 12345 12345 12345 11111 11111 11111 则不是。
  小蓝想知道一共有多少个长度为 n n n 的上述的奇怪的数。你只需要输出答案对 998244353 998244353 998244353 取模的结果。

【输入格式】

  输入一行包含两个整数 n , m n, m n,m,用一个空格分隔。

【输出格式】

  输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

5 5

【样例输出】

6

【评测用例规模与约定】

  对于 30 % 30\% 30% 的评测用例, n ≤ 12 n ≤ 12 n12
  对于 60 % 60\% 60% 的评测用例, n ≤ 5000 n ≤ 5000 n5000
  对于所有评测用例, 5 ≤ n ≤ 2 × 1 0 5 , 0 ≤ m ≤ 50 5 ≤ n ≤ 2 × 10^5,0 ≤ m ≤ 50 5n2×1050m50


动态规划


  因为是要校验连续的 5 5 5 个数位上的数字之和是否大于 m m m,自然能设计出状态 f i , a , b , c , d f_{i,a,b,c,d} fi,a,b,c,d,表示第 i − 3 i-3 i3 个数位上的数字为 a a a i − 2 : b i-2:b i2:b i − 1 : c i-1:c i1:c i : d i:d i:d 的奇怪的数有多少个,容易找到状态转移方程: f i , a , b , c , d = ∑ f i − 1 , e , a , b , c , a + b + c + d + e ≤ m . f_{i,a,b,c,d}=\sum f_{i-1,e,a,b,c},a+b+c+d+e\leq m. fi,a,b,c,d=fi1,e,a,b,c,a+b+c+d+em.  转移复杂度为 O ( n D 5 ) O(nD^5) O(nD5),其中 D = 5 D=5 D=5 即每个数位可能的取值的个数,这样看来复杂度就超了, 1 s \rm 1s 1s 指定是跑不出来,于是考虑维护 f f f 在第二维的前缀和,具体地说我们记: g i , a , b , c , d = ∑ j = 0 a f i , j , b , c , d . g_{i,a,b,c,d}=\sum_{j=0}^af_{i,j,b,c,d}. gi,a,b,c,d=j=0afi,j,b,c,d.  则状态转移方程可改写为: g i , a , b , c , d = g i , a − 1 , b , c , d + g i − 1 , max ⁡ ( 0 , min ⁡ ( 9 , m − a − b − c − d ) ) , a , b , c . g_{i,a,b,c,d}=g_{i,a-1,b,c,d}+g_{i-1,\max(0,\min(9,m-a-b-c-d)),a,b,c}. gi,a,b,c,d=gi,a1,b,c,d+gi1,max(0,min(9,mabcd)),a,b,c.  转移复杂度为 O ( n D 4 ) O(nD^4) O(nD4) 1 s \rm 1s 1s 有那么一点极限,标程很有可能不是动规。还有就是在实现时为了使 D = 5 D=5 D=5,转移过程会有一定的微调,具体看代码吧。

#include 

const int M = 12, mod = 998244353;

int n, m, ans, g[2][M][M][M][M];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    int p = 1, q = 0;
    for (int a = p; a < 10; a += 2)
        for (int b = q; b < 10; b += 2)
            for (int c = p; c < 10; c += 2)
                for (int d = q; d < 10; d += 2) {
                    g[0][a + 2][b][c][d] = g[0][a][b][c][d] + (a + b + c + d <= m);
                }
    for (int i = 5; i <= n; ++i) {
        p ^= 1, q ^= 1;
        for (int a = p; a < 10; a += 2)
            for (int b = q; b < 10; b += 2)
                for (int c = p; c < 10; c += 2)
                    for (int d = q; d < 10; d += 2) {
                        int f = m - a - b - c - d;
                        if (q != (f & 1)) --f;
                        if (f > 8 + p) f = 8 + q;
                        g[i & 1][a + 2][b][c][d] = (g[i & 1][a][b][c][d] + (f < q ? 0 : g[~i & 1][f + 2][a][b][c])) % mod;
                    }
    }
    for (int b = q; b < 10; b += 2)
        for (int c = p; c < 10; c += 2)
            for (int d = q; d < 10; d += 2) {
                int f = m - b - c - d;
                if (f < p) continue;
                if (p != (f & 1)) --f;
                if (f > 8 + p) f = 8 + p;
                ans = (ans + g[n & 1][f + 2][b][c][d]) % mod;
            }
    printf("%d", ans);
}

  输入200000 50 4000 4000 4000 系锐龙刚好在 1 s \rm 1s 1s 跑完,这放在评测机上不开 O 2 \rm O2 O2 就超时了。

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