球的表面积公式是怎么推导出来的?

球的体积公式的推导

球的表面积公式是:

证明方式一:体积求导

基本思路: 可以把半径为R的球,从球心到球表面分成n层,每层厚为 r/n ,像洋葱一样。半径获得增量是△r,体积增加的部分的体积就为△V。
 极限的思想:当△r趋近于零时,球的每层的厚度就薄的像个曲面一样,这部分很薄的体积,除以dr就是球的表面积了。
球的表面积公式是怎么推导出来的?_第1张图片
继续追问:为什么x3求导是3x2

证明方式二:将球拆成无数个小的四棱锥

如下图:
球的表面积公式是怎么推导出来的?_第2张图片
基本思想: 把整个球体分切成无数的锥体,每一个锥体的底面都是球体表面的一小部分。对球体不断进行分切,每一个锥体的底面越来越小,椎体的高则向球体的半径r趋近。
 具体计算如下:

为什么四棱锥的体积是 s h 3 \frac {sh}{3} 3sh?

四棱锥可以看成是两个三菱锥的体积相加。
球的表面积公式是怎么推导出来的?_第3张图片

为什么三棱锥的体积是 s h 3 \frac {sh}{3} 3sh?

参考: 为什么三棱锥的体积是三棱柱的三分之一?

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