对KMP算法的一点碎碎念——上篇
对KMP算法的一点碎碎念——上篇
文章目录
- 对KMP算法的一点碎碎念——上篇
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- 1. KMP 算法 Next数组 求解问题
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- 1.1 前置知识-最长公共前后缀LCP
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- 1.1.1 前缀与后缀
- 1.1.2 最长公共前后缀LCP
- 1.2 手算法求解 Next数组值(3种常见情况)
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- 1.2.1 情况1: next数组 正常存放匹配字符的长度
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- 情况1的失配回溯机制
- 1.2.2 情况2: next数组 整体右移一位
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- 情况2的失配回溯机制
- 1.2.3 情况3: next数组 整体右移一位并把next数组加1
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- 情况3的失配回溯机制
- 参考资料
1. KMP 算法 Next数组 求解问题
假设有模式串T为：a b a b a c，求解与其对应的next数组为多少
1.1 前置知识-最长公共前后缀LCP
1.1.1 前缀与后缀
前缀的概念：前缀是 不包含最后一个字符 的所有 以第一个字符开头 的任意子串
后缀的概念：后缀是 不包含第一个字符 的所有 以最后一个字符结尾 的任意子串
例如字符串 “aba”
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去掉最后一个字符后，剩下的都是前缀了
a b a ab\xcancel{a} aba ，这里 ab 就是这个字符串的其中一个前缀
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同理去掉第一个字符后，剩下的都是后缀了
a b a \xcancel{a}ba a ba，这里 ba 就是这个字符串的其中一个后缀
为什么这里我说是其中一个前/后缀呢？
回到前后缀的概念上，前后缀都是以子串的形式存在的，也就是说，前后缀一定是模式串的子集
那么就好理解了，aba的前后缀表如下：
| 前缀 | 后缀 |
|---|---|
| a | a |
| ab | ba |
1.1.2 最长公共前后缀LCP
概念：最长公共前后缀 (longest common prefix) 就是字符串中前缀和后缀的 最长匹配子串
例如，“aabaa”，我们从 前缀(prefix)和后缀(suffix) 中寻找最长的匹配子串
| 字符串 aabaa 的子串 | 前缀(去掉最后一个字符) | 被去掉的字符 | 后缀(去掉第一个字符) | 被去掉的字符 | 前后缀最长匹配数(就是next值) |
|---|---|---|---|---|---|
| a | ✗ | a \xcancel{a} a | ✗ | a \xcancel{a} a | 0 |
| aa | a | a a a\xcancel{a} aa | a | a a \xcancel{a}a a a | 1 |
| aab | a, aa | a a b aa\xcancel{b} aab | b, ab | a a b \xcancel{a}ab a ab | 0 |
| aaba | a, aa, aab | a a b a aab\xcancel{a} aaba | a, ba, aba | a a b a \xcancel{a}aba a aba | 1 |
| aabaa | a, aa, aab, aaba | a a b a a aaba\xcancel{a} aabaa | a, aa, baa, abaa | a a b a a \xcancel{a}abaa a abaa | 2 |
1.2 手算法求解 Next数组值(3种常见情况)
由于KMP算法中的next数组有不同的实现方式，因此为了避免大家弄混淆，我对每个实现next数组的方法做一些区分
1.2.1 情况1: next数组 正常存放匹配字符的长度
这是最常见的情况，基本上网络上大部分都是以这个情况为主来求解next数组值，我们上面也讨论过了next值如何得出
以模式串 “ababac” 为例，完整的next数组如下：
| 模式串下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | b | a | c |
| next数组值 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 |
| 匹配的前后缀 | ✗ | ✗ | a b a 匹配位为前后缀 ‘a’ |
a b a b 匹配位为前后缀 ‘a b’ |
a b a b a 匹配位为前后缀 ‘a b a’ |
✗ |
我们可以发现，每个字符下的next数组值都是存放着当前串的匹配长度
初学者可能会对第4个位置有疑惑，咱们一起来看如何求解？
模式串匹配到第4个字符后，前4个字符组成了一个串，即"ababa"
前缀的集合为： a , a b , a b a , a b a b a,ab,aba,abab a,ab,aba,abab
后缀的集合为： a , b a , a b a , b a b a a,ba,aba,baba a,ba,aba,baba
通过观察，我们可以看到集合中 a b a aba aba 为最长公共前后缀，且长度为3
情况1的失配回溯机制
假如文本串(主串)为 “abababac”，模式串为 “ababac”，在下标为5的位置发生失配
从图中我们看出：
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左侧图，当主串S和模式串T比较到下标为5的位置时，发现主串和模式串不匹配，故模式串的指针j需要回退，回退的顺序为
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寻找找从当前失配位置的前一位，它的next值是多少？
当前失配位置为下标5，它前一位的next值为3
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前一位的next值就是j要回退的位置的下标
那么j要回退的位置就是 j = next[j-1] = next[4] = 3
-
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右侧图，我们已经找到回退的位置了，故j回到下标为3的位置上继续与主串S重新匹配
还有一种的实现方式是和这个原理一样的，就是把这所有的next数组值减1，然后找回溯位置时再把next值加1而已
| 模式串下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | b | a | c |
| next数组值 | -1 | -1 | 0 | 1 | 2 | -1 |
回溯位：j = next[j-1] + 1
不难看出，虽然好理解，但是操作很繁琐。每一次j失配都需要找前一位的next值作为自己的回退位置，这时候有人对next数组做出了改进，当在当前位置失配时，直接获取当前失配位置的next值作为j回退的位置，这就是我们要讲解的下一种情况
1.2.2 情况2: next数组 整体右移一位
以模式串 “ababac” 为例，完整的next数组如下：
| 模式串下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | a | b | a | b | a | c |
| next数组值 | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 匹配的前后缀 | ✗ | ✗ | ✗ | a b a 匹配位为前后缀 ‘a’ |
a b a b 匹配位为前后缀 ‘a b’ |
a b a b a 匹配位为前后缀 ‘a b a’ |
你可能会疑惑，这样做也没什么区别啊，反而更难理解了？实则不然，我们看下面的比较方式就能看出来了
字符串匹配最本质的原理其实就是前后缀相匹配的问题，我们把模式串右移一位，在逻辑上更符合匹配的情况，这就是为什么大部分教程和书籍都用这两种方式讲解next数组值的原因。那么，除了逻辑上更符合之外，还有next数组右移一位还有什么优势呢？我们再看下面的图解
情况2的失配回溯机制
假如文本串(主串)为 “abababac”，模式串为 “ababac”，使用右移模式串T的方式与主串S进行匹配
当前位置不匹配，那么就直接从不匹配的位置获取next数组值，然后j就回退到当前位置的next对应的下标位置。对齐的那个地方不算一个步骤，只是为了让大家更好理解
通过以上图片对比，我们发现把next数组整体右移一位在一定情况下的匹配效率更高，这就是为什么右移next数组这么流行的原因了
回溯位：j = next[j]
1.2.3 情况3: next数组 整体右移一位并把next数组加1
以模式串 “ababac” 为例，完整的next数组如下：
| 模式串下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模式串 | ✗ | a | b | a | b | a | c |
| next数组值 | ✗ | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 匹配的前后缀 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | a b a 匹配位为前后缀 ‘a’ |
a b a b 匹配位为前后缀 ‘a b’ |
a b a b a 匹配位为前后缀 ‘a b a’ |
其实情况3的实现方式和情况2是一样的，只不过我们发现情况3的next数组的初始位置是从1开始，而情况1的next数组的初始位置是从0开始的
不过我个人认为，情况3更像是情况1和情况2的结合，它杂糅了它们的思想，为什么这么说？先给出结论
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在回溯机制上，情况3的回溯机制思想和情况2的回溯机制思想是一样的
都是当前位置不匹配，那么就直接从不匹配的位置获取next数组值，然后j就回退到当前位置的next对应的下标位置
情况3的回溯机制也就是 j = next[j] 而不是情况1的 j = next[j-1] -
在next数组值确定上，情况3的数组值确定方式和情况1是一样的
都是从当前位置及之前构成的串中寻找 最长公共前后缀，然后把匹配的值确定为当前位置的next值
情况3的失配回溯机制
假如文本串(主串)为 “abababac”，模式串为 “ababac”，使用右移模式串T并把下标加1的方式与主串S进行匹配
回溯位：j = next[j]
参考资料
KMP算法之求解next数组 (xiaohongshu.com)
帮你把 KMP 算法学个通透！（理论篇）
帮你把KMP算法学个通透！（求next数组代码篇）
KMP 算法之求next数组代码讲解
KMP算法精讲（1）——暴力匹配算法
KMP算法精讲（2）——什么是最长公共前后缀？
KMP算法精讲（3）——最长公共前后缀在KMP算法中的应用
KMP算法精讲（4）——15分钟搞定next数组
KMP Algorithm for Pattern Searching - GeeksforGeeks
Prefix function - Knuth-Morris-Pratt Algorithm - Coding Ninjas