( A A A是 n × n n\times n n×n的方阵矩阵)
是一个向量的集合,在这个集合内能够满足向量的加法运算和数乘运算(运算的封闭性)
n n n维的欧氏空间 R n R^n Rn定义为所有 n n n维向量
当然也有形如 R m × n R^{m\times n} Rm×n表示所有 m × n m\times n m×n实数矩阵
Z Z Z空间表示只有 { 0 } \{0\} {0}向量的向量空间
P n P_n Pn表示所有次数小于 n n n的多项式的集合
矩阵 A A A的列空间就是 A A A的列向量所有的线性组合
同理,矩阵 A A A的行空间就是 A A A的行向量所有的线性组合
一个向量空间的子集就是这个向量空间的子空间
若干个向量的线性组合的集合
其中有个定理:
若 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, … , v_n v1,v2,…,vn的是向量空间 V V V中的元素, 则向量 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, … , v_n v1,v2,…,vn的张成 S p a n ( v 1 , v 2 , … , v n ) Span(v_1, v_2, … , v_n) Span(v1,v2,…,vn)是向量空间 V V V的一个子空间
{ v 1 , v 2 , … , v n } \{v_1, v_2, … , v_n\} {v1,v2,…,vn}张成向量空间 V V V自身.
其中 v i ∈ V v_i\in V vi∈V
n n n个 n n n维列向量能张成向量空间 R n R_n Rn的充要条件是这 n n n个列向量线性无关
如果 c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n=0 c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0 推出来标量 c 1 , c 2 , … , c n c_1,c_2,\dots,c_n c1,c2,…,cn皆为0,
则向量 v 1 , v 2 , … , v n v_1,v_2,\dots,v_n v1,v2,…,vn是线性无关的
若向量空间 V V V的一组基含有 n n n个向量,
则称向量空间的维数是 n n n.
记做 dim ( V ) = n \dim(V)= n dim(V)=n
向量 v 1 , v 2 , … , v n ∈ V v_1, v_2, … , v_n \in V v1,v2,…,vn∈V满足:
则 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, … , v_n v1,v2,…,vn是向量空间 V V V的基
若存在一组基 [ v 1 , v 2 , … , v n ] [v_1, v_2, … , v_n] [v1,v2,…,vn]
现在要将在这组基下的坐标用另外一组基 [ u 1 , u 2 , … , u n ] [u_1,u_2, … , u_n] [u1,u2,…,un]表示出来
则有 x = U c = V d x=Uc=Vd x=Uc=Vd
⇒ \Rightarrow ⇒ d = V − 1 U c d=V^{-1}Uc d=V−1Uc
称 V − 1 U V^{-1}U V−1U为转移矩阵
从 U U U到 I I I的转移矩阵 S S S为 [ u 1 … u n ] [u_1\dots u_n] [u1…un]
A x = 0 Ax=0 Ax=0的解构成的一个向量空间,记作 N ( A ) N(A) N(A)
最后要简化成形如
R = [ 1 2 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] R=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] R= 1000020000010003200000100
的矩阵
我们称第1、3、5列为主列,第2、4列为自由列
如此,我们称这个矩阵的秩为3,记作 r a n k ( R ) = r = 3 rank(R)=r=3 rank(R)=r=3
解方程 A x = b Ax=b Ax=b,设其中一个特解是 x ∗ x^* x∗
则方程的解集为 { x } = x ∗ + N ( A ) = { x + α ∣ α ∈ N ( A ) } \{x\}=x^*+N(A)=\{x+\alpha|\alpha\in N(A)\} {x}=x∗+N(A)={x+α∣α∈N(A)}
A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系有 n − r n-r n−r个特解,这些特解构成 A A A的零空间
接着再找特解 x ∗ x^* x∗
利用增广矩阵 [ A ∣ b ] ⇒ [ R ∣ d ] [A|b]\Rightarrow[R|d] [A∣b]⇒[R∣d]
则 A x ∗ = b Ax^*=b Ax∗=b的解等价于 R x ∗ = d Rx^*=d Rx∗=d
即可解得
无穷个解
r a n k ( A ) < n rank(A)
否则,只有 x = 0 x=0 x=0一个解
r a n k ( A ) < n rank(A)
r a n k ( A ) = n rank(A)=n rank(A)=n时,等价 m = n m=n m=n
总结,只和 r a n k ( A ) rank(A) rank(A)和 n n n的大小有关
唯一解
无穷个解
d = 0 d=0 d=0,唯一解
d ≠ 0 d\not=0 d=0,无解
d = 0 d=0 d=0,无穷解
d ≠ 0 d\not=0 d=0,无解
另外,有重要结论:行秩等于列秩
函数是线性的,满足以下两个条件:
将线性映射 L L L表示为矩阵乘法的形式
设 L L L是 R n R^n Rn→ R m R^m Rm的线性变换, 且 E = [ v 1 … v n ] E=[v_1\dots v_n] E=[v1…vn]是 R n R^n Rn的有序基,
F = [ w 1 … w m ] F=[w_1\dots w_m] F=[w1…wm]是 R m R^m Rm的有序基, A A A是相应于有序基 E E E和 F F F的表示矩阵
则 A = F − 1 [ L ( v 1 ) … L ( v n ) ] A=F^{-1}[L(v_1)\dots L(v_n)] A=F−1[L(v1)…L(vn)]
也可以用增广矩阵求解
将 A = [ F ∣ L ( v 1 ) … L ( v n ) ] A=[F|L(v_1)\dots L(v_n)] A=[F∣L(v1)…L(vn)]用高斯若当法变为 [ I ∣ A ] [I|A] [I∣A]
若存在可逆矩阵 S S S使得 B = S − 1 A S B=S^{-1}AS B=S−1AS,则称矩阵 A A A和矩阵 B B B相似
那么若已知 [ u 1 … u n ] [u_1\dots u_n] [u1…un]的表示矩阵 A A A,要求 [ v 1 … v n ] [v_1\dots v_n] [v1…vn]的表示矩阵 B B B,则可以通过相似矩阵来求 B = S − 1 A S B=S^{-1}AS B=S−1AS,其中 S S S为 U U U到 V V V的转移矩阵
定义 t r ( A ) = Σ i = 1 n a i , i tr(A)=\Sigma_{i=1}^na_{i,i} tr(A)=Σi=1nai,i
若两个向量外积为 0 0 0,则称两个向量正交,记为 x ⊥ y x\perp y x⊥y
正交和正交补共同张成完整的向量空间, X X X的正交补记作 X ⊥ X^\perp X⊥
向量 b b b到向量 a a a的投影 p = a a T b a T a p=a\frac{a^Tb}{a^Ta} p=aaTaaTb
当 A x = b Ax=b Ax=b无解时,找到最小二乘解 x ^ \widehat{x} x
投影矩阵 P = A ( A T A ) − 1 A T P=A(A^TA)^{-1}A^T P=A(ATA)−1AT
性质:
此时,最小二乘解 x ^ = ( A T A ) − 1 A T b \widehat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb x =(ATA)−1ATb
定义正交矩阵 Q Q Q,满足 Q T Q = I Q^TQ=I QTQ=I
那么这个正交矩阵的投影矩阵可以表示为 P = Q Q T P=QQ^T P=QQT
同时,对于 Q x = b Qx=b Qx=b这个方程,最小二乘解也可以表示为 x ^ = Q T b \widehat{x}=Q^Tb x =QTb
那么我们考虑将 A x = b Ax=b Ax=b变为 Q x = b Qx=b Qx=b
对于 A A A中的每个列向量,进行如下操作:
第一步:
得到所有的 u i u_i ui
第二步:
得到所有的 q i q_i qi,再把其合成一个矩阵 Q Q Q
(其中 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| ∣∣x∣∣表示 x x x的长度)
第三步:
再令 R = [ q 1 T a 1 q 1 T a 2 ⋯ q 1 T a n 0 q 2 T a 2 ⋯ q 2 T a n 0 0 ⋱ ⋮ 0 0 0 q n T a n ] R= \left[ \begin{matrix} q_1^Ta_1 & q_1^Ta_2 & \cdots & q_1^Ta_n\\ 0 & q_2^Ta_2 & \cdots & q_2^Ta_n\\ 0 & 0 & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & q_n^Ta_n\\ \end{matrix} \right] R= q1Ta1000q1Ta2q2Ta200⋯⋯⋱0q1Tanq2Tan⋮qnTan
这样我们就把 A A A分解成了 Q R QR QR( A = Q R A=QR A=QR)
就可以用回代法求解 R x ^ = Q T b R\widehat{x}=Q^Tb Rx =QTb
求解 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx
特征值 λ \lambda λ满足 det ( A − λ I ) = 0 \det(A-\lambda I)=0 det(A−λI)=0
特征值有如下性质:
( A − λ I ) x = 0 (A-\lambda I)x=0 (A−λI)x=0的解 x x x称为特征向量
对于矩阵 A A A,将其对角化为 X Λ X − 1 X\Lambda X^{-1} XΛX−1
其中 Λ = [ λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 λ n ] X = [ x 1 x 2 ⋯ x n ] \Lambda=\left[ \begin{matrix} \lambda_1 & 0 & 0& 0\\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n\\ \end{matrix} \right] \\ X=[x_1x_2\cdots x_n] Λ= λ10000λ20000⋱0000λn X=[x1x2⋯xn]
值得注意的是要一一对应
相似矩阵有相同的特征值
先写到这