pytorch-梯度消失、梯度爆炸以及Kaggle房价预测

梯度消失、梯度爆炸以及Kaggle房价预测

1. 梯度消失和梯度爆炸
2. 考虑到环境因素的其他问题
3. Kaggle房价预测

梯度消失和梯度爆炸

深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失（vanishing）和爆炸（explosion）。

当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。

假设一个层数为$L$的多层感知机的第$l$层${\mathbf{H}}^{(l)}$的权重参数为${\mathbf{W}}^{(l)}$，输出层${\mathbf{H}}^{(L)}$的权重参数为${\mathbf{W}}^{(L)}$。为了便于讨论，不考虑偏差参数，且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射（identity mapping）$\varphi (x)=x$。给定输入$\mathbf{X}$，多层感知机的第$l$层的输出${\mathbf{H}}^{(l)}=\mathbf{X}{\mathbf{W}}^{(1)}{\mathbf{W}}^{(2)}\dots {\mathbf{W}}^{(l)}$。此时，如果层数$l$较大，${\mathbf{H}}^{(l)}$的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子，假设输入和所有层的权重参数都是标量，如权重参数为0.2和5，多层感知机的第30层输出为输入$\mathbf{X}$分别与$0.2^{30}\approx 1\times 10^{-21}$（消失）和$5^{30}\approx 9\times 10^{20}$（爆炸）的乘积。当层数较多时，梯度的计算也容易出现消失或爆炸。

随机初始化模型参数

在神经网络中，通常需要随机初始化模型参数。下面我们来解释这样做的原因。

回顾多层感知机一节描述的多层感知机。为了方便解释，假设输出层只保留一个输出单元$o_1$（删去$o_2$和$o_3$以及指向它们的箭头），且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此，正如在前面的实验中所做的那样，我们通常将神经网络的模型参数，特别是权重参数，进行随机初始化。

PyTorch的默认随机初始化

随机初始化模型参数的方法有很多。在线性回归的简洁实现中，我们使用torch.nn.init.normal_()使模型net的权重参数采用正态分布的随机初始化方式。不过，PyTorch中nn.Module的模块参数都采取了较为合理的初始化策略（不同类型的layer具体采样的哪一种初始化方法的可参考源代码），因此一般不用我们考虑。

Xavier随机初始化

还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化。
假设某全连接层的输入个数为$a$，输出个数为$b$，Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布

$$U\left(-\sqrt{\frac{6}{a+b}},\sqrt{\frac{6}{a+b}}\right).$$

它的设计主要考虑到，模型参数初始化后，每层输出的方差不该受该层输入个数影响，且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。

考虑环境因素

协变量偏移

这里我们假设，虽然输入的分布可能随时间而改变，但是标记函数，即条件分布P（y∣x）不会改变。虽然这个问题容易理解，但在实践中也容易忽视。

想想区分猫和狗的一个例子。我们的训练数据使用的是猫和狗的真实的照片，但是在测试时，我们被要求对猫和狗的卡通图片进行分类。

cat	cat	dog	dog

测试数据：

cat	cat	dog	dog

显然，这不太可能奏效。训练集由照片组成，而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练，而不考虑如何适应新的情况，这是不是一个好主意。不幸的是，这是一个非常常见的陷阱。

统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化（即协变量的变化）。数学上，我们可以说P（x）改变了，但P（y∣x）保持不变。尽管它的有用性并不局限于此，当我们认为x导致y时，协变量移位通常是正确的假设。

标签偏移

当我们认为导致偏移的是标签P（y）上的边缘分布的变化，但类条件分布是不变的P（x∣y）时，就会出现相反的问题。当我们认为y导致x时，标签偏移是一个合理的假设。例如，通常我们希望根据其表现来预测诊断结果。在这种情况下，我们认为诊断引起的表现，即疾病引起的症状。有时标签偏移和协变量移位假设可以同时成立。例如，当真正的标签函数是确定的和不变的，那么协变量偏移将始终保持，包括如果标签偏移也保持。有趣的是，当我们期望标签偏移和协变量偏移保持时，使用来自标签偏移假设的方法通常是有利的。这是因为这些方法倾向于操作看起来像标签的对象，这（在深度学习中）与处理看起来像输入的对象（在深度学习中）相比相对容易一些。

病因（要预测的诊断结果）导致 症状（观察到的结果）。

训练数据集，数据很少只包含流感p(y)的样本。

而测试数据集有流感p(y)和流感q(y)，其中不变的是流感症状p(x|y)。

概念偏移

另一个相关的问题出现在概念转换中，即标签本身的定义发生变化的情况。这听起来很奇怪，毕竟猫就是猫。的确，猫的定义可能不会改变，但我们能不能对软饮料也这么说呢？事实证明，如果我们周游美国，按地理位置转移数据来源，我们会发现，即使是如图所示的这个简单术语的定义也会发生相当大的概念转变。

$$美国软饮料名称的概念转变$$
如果我们要建立一个机器翻译系统，分布P（y∣x）可能因我们的位置而异。这个问题很难发现。另一个可取之处是P（y∣x）通常只是逐渐变化。

Kaggle 房价预测实战

作为深度学习基础篇章的总结，我们将对本章内容学以致用。下面，让我们动手实战一个Kaggle比赛：房价预测。本节将提供未经调优的数据的预处理、模型的设计和超参数的选择。我们希望读者通过动手操作、仔细观察实验现象、认真分析实验结果并不断调整方法，得到令自己满意的结果。

%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import pandas as pd
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)
torch.set_default_tensor_type(torch.FloatTensor)

1.3.0

获取和读取数据集

比赛数据分为训练数据集和测试数据集。两个数据集都包括每栋房子的特征，如街道类型、建造年份、房顶类型、地下室状况等特征值。这些特征值有连续的数字、离散的标签甚至是缺失值“na”。只有训练数据集包括了每栋房子的价格，也就是标签。我们可以访问比赛网页，点击“Data”标签，并下载这些数据集。

我们将通过pandas库读入并处理数据。在导入本节需要的包前请确保已安装pandas库。
假设解压后的数据位于/home/kesci/input/houseprices2807/目录，它包括两个csv文件。下面使用pandas读取这两个文件。

test_data = pd.read_csv("/home/kesci/input/houseprices2807/house-prices-advanced-regression-techniques/test.csv")
train_data = pd.read_csv("/home/kesci/input/houseprices2807/house-prices-advanced-regression-techniques/train.csv")

训练数据集包括1460个样本、80个特征和1个标签。

print(train_data.shape)
print(train_data.head())
# 最后一列为target

(1460, 81)
   Id  MSSubClass MSZoning  LotFrontage  LotArea Street Alley LotShape  \
0   1          60       RL         65.0     8450   Pave   NaN      Reg   
1   2          20       RL         80.0     9600   Pave   NaN      Reg   
2   3          60       RL         68.0    11250   Pave   NaN      IR1   
3   4          70       RL         60.0     9550   Pave   NaN      IR1   
4   5          60       RL         84.0    14260   Pave   NaN      IR1   

  LandContour Utilities  ... PoolArea PoolQC Fence MiscFeature MiscVal MoSold  \
0         Lvl    AllPub  ...        0    NaN   NaN         NaN       0      2   
1         Lvl    AllPub  ...        0    NaN   NaN         NaN       0      5   
2         Lvl    AllPub  ...        0    NaN   NaN         NaN       0      9   
3         Lvl    AllPub  ...        0    NaN   NaN         NaN       0      2   
4         Lvl    AllPub  ...        0    NaN   NaN         NaN       0     12   

  YrSold  SaleType  SaleCondition  SalePrice  
0   2008        WD         Normal     208500  
1   2007        WD         Normal     181500  
2   2008        WD         Normal     223500  
3   2006        WD        Abnorml     140000  
4   2008        WD         Normal     250000  

[5 rows x 81 columns]

测试数据集包括1459个样本和80个特征。我们需要将测试数据集中每个样本的标签预测出来。

test_data.shape

(1459, 80)

让我们来查看前4个样本的前4个特征、后2个特征和标签（SalePrice）：

train_data.iloc[0:4, [0, 1, 2, 3, -3, -2, -1]]

	Id	MSSubClass	MSZoning	LotFrontage	SaleType	SaleCondition	SalePrice
0	1	60	RL	65.0	WD	Normal	208500
1	2	20	RL	80.0	WD	Normal	181500
2	3	60	RL	68.0	WD	Normal	223500
3	4	70	RL	60.0	WD	Abnorml	140000

可以看到第一个特征是Id，它能帮助模型记住每个训练样本，但难以推广到测试样本，所以我们不使用它来训练。我们将所有的训练数据和测试数据的79个特征按样本连结。

all_features = pd.concat((train_data.iloc[:, 1:-1], test_data.iloc[:, 1:]))

预处理数据

我们对连续数值的特征做标准化（standardization）：设该特征在整个数据集上的均值为$\mu$，标准差为$\sigma$。那么，我们可以将该特征的每个值先减去$\mu$再除以$\sigma$得到标准化后的每个特征值。对于缺失的特征值，我们将其替换成该特征的均值。

numeric_features = all_features.dtypes[all_features.dtypes != 'object'].index# 数值型特征处理
# 对于数值行特征进行标准化
print(numeric_features)
all_features[numeric_features] = all_features[numeric_features].apply(
    lambda x: (x - x.mean()) / (x.std()))
# 标准化后，每个数值特征的均值变为0，所以可以直接用0来替换缺失值
all_features[numeric_features] = all_features[numeric_features].fillna(0)

Index(['MSSubClass', 'LotFrontage', 'LotArea', 'OverallQual', 'OverallCond',
       'YearBuilt', 'YearRemodAdd', 'MasVnrArea', 'BsmtFinSF1', 'BsmtFinSF2',
       'BsmtUnfSF', 'TotalBsmtSF', '1stFlrSF', '2ndFlrSF', 'LowQualFinSF',
       'GrLivArea', 'BsmtFullBath', 'BsmtHalfBath', 'FullBath', 'HalfBath',
       'BedroomAbvGr', 'KitchenAbvGr', 'TotRmsAbvGrd', 'Fireplaces',
       'GarageYrBlt', 'GarageCars', 'GarageArea', 'WoodDeckSF', 'OpenPorchSF',
       'EnclosedPorch', '3SsnPorch', 'ScreenPorch', 'PoolArea', 'MiscVal',
       'MoSold', 'YrSold'],
      dtype='object')

接下来将离散数值转成指示特征。举个例子，假设特征MSZoning里面有两个不同的离散值RL和RM，那么这一步转换将去掉MSZoning特征，并新加两个特征MSZoning_RL和MSZoning_RM，其值为0或1。如果一个样本原来在MSZoning里的值为RL，那么有MSZoning_RL=1且MSZoning_RM=0。

# dummy_na=True将缺失值也当作合法的特征值并为其创建指示特征
# 类似于onehot编码ne-hot的基本思想：将离散型特征的每一种取值都看成一种状态，若你的这一特征中有N个不相同的取值，那么我们就可以将该特征抽象成N种不同的状态，one-hot编码保证了每一个取值只会使得一种状态处于“激活态”，也就是说这N种状态中只有一个状态位值为1，其他状态位都是0
all_features = pd.get_dummies(all_features, dummy_na=True)
all_features.shape

(2919, 331)

可以看到这一步转换将特征数从79增加到了331。

最后，通过values属性得到NumPy格式的数据，并转成Tensor方便后面的训练。

n_train = train_data.shape[0]
print(n_train)
# 将训练集和测试集合踢出来
train_features = torch.tensor(all_features[:n_train].values, dtype=torch.float)
test_features = torch.tensor(all_features[n_train:].values, dtype=torch.float)
train_labels = torch.tensor(train_data.SalePrice.values, dtype=torch.float).view(-1, 1)

1460

训练模型

loss = torch.nn.MSELoss()

def get_net(feature_num):
    # 输入feature_num个特征,1个输出
    net = nn.Linear(feature_num, 1)
    for param in net.parameters():
        nn.init.normal_(param, mean=0, std=0.01)
    return net

下面定义比赛用来评价模型的对数均方根误差。给定预测值${\hat{y}}_1,\dots ,{\hat{y}}_n$和对应的真实标签$y_1,\dots ,y_n$，它的定义为

$$\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(\log (y_i)-\log ({\hat{y}}_i)\right)}^2}.$$

对数均方根误差的实现如下。

def log_rmse(net, features, labels):
    with torch.no_grad():# 表示这里面的数据不需要计算梯度,也不需要进行反向传播
        # 将小于1的值设成1，使得取对数时数值更稳定
        clipped_preds = torch.max(net(features), torch.tensor(1.0))
        rmse = torch.sqrt(2 * loss(clipped_preds.log(), labels.log()).mean())
    return rmse.item()

下面的训练函数跟本章中前几节的不同在于使用了Adam优化算法。相对之前使用的小批量随机梯度下降，它对学习率相对不那么敏感。我们将在之后的“优化算法”一章里详细介绍它。

def train(net, train_features, train_labels, test_features, test_labels,
          num_epochs, learning_rate, weight_decay, batch_size):
    train_ls, test_ls = [], []
    dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
    train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
    # 训练数据
    # 这里使用了Adam优化算法
    optimizer = torch.optim.Adam(params=net.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=weight_decay) 
    # 权重参数进行衰减
    net = net.float()
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X.float()), y.float())
            optimizer.zero_grad()
            l.backward()
            optimizer.step()
        train_ls.append(log_rmse(net, train_features, train_labels))# 这里对训练后的参数进行反向传播打断
        if test_labels is not None:
            test_ls.append(log_rmse(net, test_features, test_labels))
    return train_ls, test_ls

K折交叉验证

我们在模型选择、欠拟合和过拟合中介绍了$K$折交叉验证。它将被用来选择模型设计并调节超参数。下面实现了一个函数，它返回第i折交叉验证时所需要的训练和验证数据。

def get_k_fold_data(k, i, X, y):
    # 返回第i折交叉验证时所需要的训练和验证数据
    assert k > 1
    fold_size = X.shape[0] // k
    X_train, y_train = None, None
    for j in range(k):
        idx = slice(j * fold_size, (j + 1) * fold_size)
        X_part, y_part = X[idx, :], y[idx]
        # 把j*fold_size 到 (j+1)*fold_size-1的数据取出来
        if j == i:
            X_valid, y_valid = X_part, y_part
        elif X_train is None:
            X_train, y_train = X_part, y_part
        else:
            X_train = torch.cat((X_train, X_part), dim=0)
            y_train = torch.cat((y_train, y_part), dim=0)
    return X_train, y_train, X_valid, y_valid

在$K$折交叉验证中我们训练$K$次并返回训练和验证的平均误差

def k_fold(k, X_train, y_train, num_epochs,
           learning_rate, weight_decay, batch_size):
    train_l_sum, valid_l_sum = 0, 0
    for i in range(k):
        data = get_k_fold_data(k, i, X_train, y_train)
        # X_train, y_train, X_valid, y_valid得到这些数据,训练集和验证集
        net = get_net(X_train.shape[1])# 特征数量,初始化参数,返回线性网络
        train_ls, valid_ls = train(net, *data, num_epochs, learning_rate,
                                   weight_decay, batch_size)# *data不定参数,刚好够
        train_l_sum += train_ls[-1]
        valid_l_sum += valid_ls[-1]
        if i == 0:
            d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'rmse',
                         range(1, num_epochs + 1), valid_ls,
                         ['train', 'valid'])
        print('fold %d, train rmse %f, valid rmse %f' % (i, train_ls[-1], valid_ls[-1]))
    return train_l_sum / k, valid_l_sum / k

模型选择

我们使用一组未经调优的超参数并计算交叉验证误差。可以改动这些超参数来尽可能减小平均测试误差。
有时候你会发现一组参数的训练误差可以达到很低，但是在$K$折交叉验证上的误差可能反而较高。这种现象很可能是由过拟合造成的。因此，当训练误差降低时，我们要观察$K$折交叉验证上的误差是否也相应降低。

k, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size = 5, 35, 10, 0.3, 64#k折交叉验证,训练次数,衰减系数,批大小
# train_l, valid_l = k_fold(k, train_features, train_labels, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)
# print('%d-fold validation: avg train rmse %f, avg valid rmse %f' % (k, train_l, valid_l))

预测并在Kaggle中提交结果

下面定义预测函数。在预测之前，我们会使用完整的训练数据集来重新训练模型，并将预测结果存成提交所需要的格式。

def train_and_pred(train_features, test_features, train_labels, test_data,
                   num_epochs, lr, weight_decay, batch_size):
    net = get_net(train_features.shape[1])
    train_ls, _ = train(net, train_features, train_labels, None, None,
                        num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'rmse')
    print('train rmse %f' % train_ls[-1])
    preds = net(test_features).detach().numpy()
    test_data['SalePrice'] = pd.Series(preds.reshape(1, -1)[0])
    submission = pd.concat([test_data['Id'], test_data['SalePrice']], axis=1)
    submission.to_csv('./submission.csv', index=False)
    # sample_submission_data = pd.read_csv("../input/house-prices-advanced-regression-techniques/sample_submission.csv")

设计好模型并调好超参数之后，下一步就是对测试数据集上的房屋样本做价格预测。如果我们得到与交叉验证时差不多的训练误差，那么这个结果很可能是理想的，可以在Kaggle上提交结果。

train_and_pred(train_features, test_features, train_labels, test_data, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)

train rmse 0.253563

#如果数据量足够的情况下，确保训练数据集和测试集中的数据取自同一个数据集，可以防止协变量偏移和标签偏移是正确的。如果数据量很少，少到测试集中存在训练集中未包含的标签，就会发生标签偏移

希望大家自己动手完成房价预测的实现，多参与讨论。

未完待续,有时间用特征工程处理一下

环境因素

• 协变量偏移：
  
  输入分布 P（x）改变，条件分布 P（y∣x）不改变
  
  如猫和狗中，训练数据使用的是猫和狗的真实的照片，但是在测试时，我们被要求对猫和狗的卡通图片进行分类。这就是输入特征发生了变化

• 标签偏移：
  
  标签P（y）上的边缘分布的变化，但类条件分布P（x∣y）是不变的
  
  如训练数据集，数据很少只包含流感p(y)的样本。 而测试数据集有流感p(y)和流感q(y)，其中不变的是流感症状p(x|y)。

• 概念偏移：
  
  条件分布 P（y∣x）发生了变化
  
  如在建立一个机器翻译系统中，分布P（y∣x）可能因我们的位置的不同而发生变化