二项式系数
二项式系数
二项式系数 ( n k ) \binom{n}{k} (kn)，意味着从 n n n个元素里面选 k k k个子集元素的方案数。
二项式系数的递推公式
( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \binom{n}{k} = \binom{n- 1}{k} + \binom{n -1}{k-1} (kn)=(kn−1)+(k−1n−1)
我们考虑第 n n n个元素是否加入到子集中，如果加入，那么就从前 n − 1 n-1 n−1个元素中再选 k − 1 k-1 k−1个元素即可，方案数为 ( n − 1 k − 1 ) \binom{n- 1}{k - 1} (k−1n−1)。如果不加入，那么我们就需要在前 n − 1 n-1 n−1个元素中选出 k k k个元素，方案数为 ( n − 1 k ) \binom{n- 1}{k} (kn−1)。
递归边界为：
( n m ) = 0 , m > n ( n 0 ) = ( n n ) = 1 \binom{n}{m} = 0,m>n \\ \binom{n}{0} = \binom{n}{n} =1 (mn)=0,m>n(0n)=(nn)=1
二项式系数的通项公式
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} (kn)=k!(n−k)!n!
我们考虑先生成 n n n个元素的排列，每次选取排列的前 k k k个元素作为子集，通过除法原理合并相同的情况，如果前 k k k个元素相同只是排列不同，需要合并，方案数为 k ! k! k!。如果后 n − k n - k n−k个元素相同只是排列不同，需要合并，方案数为 ( n − k ) ! (n-k)! (n−k)!。
自反性
( n k ) = ( n n − k ) \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} (kn)=(n−kn)
从 n n n个元素中选择 k k k个元素的方案数应和选择 n − k n-k n−k个方案数相同。
对行求和
∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n i=0∑n(in)=2n
即所有子集的数量。
与二项式定理的关系
( a + b ) n = ∑ i = 0 n ( n i ) a n − i b i (a + b)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}a^{n-i}b^i (a+b)n=i=0∑n(in)an−ibi
如果我们将二项式系数写成行列的形式，就是帕斯卡三角形。
多项式系数
定义多项式系数：
( n k 1 , k 2 , … , k m ) = ( n k 1 ) × ( n k 2 ) × … × ( n k m ) = n ! k 1 ! … k m ! \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m} = \binom{n}{k_1} \times \binom{n}{k_2} \times \ldots \times \binom{n}{k_m} = \frac{n!}{k_1!\ldots k_m!} (k1,k2,…,kmn)=(k1n)×(k2n)×…×(kmn)=k1!…km!n!
其中 ∑ k i = n \sum k_i=n ∑ki=n，为将 n n n个不同的元素，按照 ∣ k 1 ∣ |k_1| ∣k1∣， ∣ k 2 ∣ |k_2| ∣k2∣等大小划分成 m m m个不同子集的方案数。
当 m = 2 m=2 m=2的时候为二项式系数。