堆积如山：探索数据结构中的堆
前言
欢迎来到小K的数据结构专栏的第十一小节，本节将为大家带来堆的详解并带来堆题目的讲解（✨当然也为大家准备了完整的源码 ）~希望你看完之后，能对你有所帮助，不足请指正！共同学习交流
目录
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- 前言
- 一、满二叉树
- 二、完全二叉树
- 三、_堆
- 四、总结
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✨在讲堆之前我们先看看满二叉树和完全二叉树~
一、满二叉树
我们先来看看满二叉树的特性：
- 是一颗二叉树
- 每一颗子树要么没有孩子要么有两个孩子
- 叶子结点在同一层
✨如下就是一颗满二叉树，少了任何一个叶子结点它就不是（除非直接少了一层–——>）
✨从上图划分的层级关系，我们一眼可以看出：
- 第n层节点数量一定是2(n-1)个，比如第三次就是2的平方，4个节点
- 有m层的满二叉树的节点总数为2m-1个，比方说上图的二叉树节点总数就为23-1=7个
✨前面我们讲的树、二叉树、二叉查找树都是用链式结构描述的，那还有没有别的方法？答案是当然有~我们今天就用数组结构来描述！！！，既然要用数组来描述，那肯定要知道数组下标和树相应层级的对应关系，第一个1个空间表示第一层，第二个两个代表第二层，以此类推…
✨我们就按顺序给满二叉树标号，作为下标，下面我们通过表格来观察一下他们有什么特点：
| 父 | 左孩子 | 右孩子 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 5 | 6 |
| … | … | … |
- 根据上图，如果已知父节点下标为n，左孩子下标为2n+1,右孩子下标为2n+2
- 那么如果已知左孩子下标为m，父节点下标为（m-1）/2，同理已知右孩子，则父节点下标为（m-2）/2
- 又观察得知所有左孩子的下标都是奇数，所有右孩子的下标为偶数且（偶数-1）/2==（偶数-2）/2
- 所以已知孩子下标为m，父节点下标为（m-1）/2
附上下图：
二、完全二叉树
完全二叉树的特性：
- 是一颗二叉树
- 满二叉树从最下一层从右往左删（删除顺序和阅读顺序相反）
- 同样满足父节点和孩子节点的下标关系：已知孩子下标为m，父节点下标为（m-1）/2
所以说，满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
✨接下来我们用线性结构来描述一下完全二叉树：
很简单，我们准备一个结构体，里面存一个数组和计算计算数组大小的元素，插入直接按顺序插入
#define MAX 1024
typedef struct three
{
int size;
int all_Binarythree[MAX];
}three;
void init(three* t)
{
//memset(t->all_Binarythree, 0, MAX);
t->size = 0;
}
void insert(three* t, int insertData) {
t->all_Binarythree[t->size++] = insertData;
}
测试结果
✨发现完全吻合，没问题~附上源代码：
三、_堆
✨堆:父子之间有序的完全二叉树,如下图就是堆，父节点都小于孩子节点
父大于子 大顶堆 最大堆
父小于子 小顶堆 最小堆
第一步，✨堆插入
✨堆插入思想：
- 数组方式进入
- 往上（父子）线条上作插入排序
- 先临时保存新数据
- 循环和父节点比较，如果不冲突，循环结束
- 如果冲突，当前位置父节点数据覆盖当前位置
- 临时保存的数据覆盖当前位置
堆插入思想过程
✨详解代码：
void insert(myHeap* t, int insertData)
{
//需要新开内存
if ((t->size) >= (t->maxSize))
{
//计算新开内存
(t->maxSize) += ((t->maxSize >> 1 > 1) ? (t->maxSize >> 1) : 1);
//新开内存
int* pTemp = (int*)malloc(sizeof(int) * (t->maxSize));
assert(pTemp);
if (t->pRoot)
{
memcpy(pTemp, (t->pRoot), sizeof(int) * (t->size));
free(t->pRoot);
}
t->pRoot = pTemp;
}
//insertData放入动态数组中,元素个数加1
t->pRoot[t->size++] = insertData;
//循环遍历，父子一条线
//当前节点下标
int currentIdx = t->size - 1;
//父节点下标
int partentIdx;
while (1)
{
if (currentIdx <= 0) break;
partentIdx = (currentIdx - 1) / 2;
if ((t->pRoot[currentIdx]) < (t->pRoot[partentIdx]))
t->pRoot[currentIdx] = t->pRoot[partentIdx];
else break;
//循环继续
currentIdx = partentIdx;
}
//覆盖回来
t->pRoot[currentIdx] = insertData;
}
第二步，✨堆删除
删除堆顶元素思想：
临时保存堆顶元素
用最后一个元素覆盖堆顶元素
从堆顶开始往下循环
越界循环结束
最小孩子大于最后一个数据结束循环
最小孩子不大于最后一个数据，那就子覆盖父（孩子中最小的接替父节点）
循环结束后，最后一个节点覆盖当前位置
size–
返回堆顶元素
✨删除过程如下：
代码详解：
int pop(myHeap* t)
{
if (0 == t->size) return -666666;
//1. 临时保存堆顶元素
int delData = t->pRoot[0];
if (1 == t->size)
{
t->size = t->maxSize = 0;
free(t->pRoot);
t->pRoot = NULL;
return delData;
}
//2. 用最后一个元素覆盖堆顶元素
t->pRoot[0] = t->pRoot[t->size - 1];
//3. 从堆顶开始往下循环
//当前点下标
int currentIdx = 0;
//最小孩子下标
int minchildIdx;
while (1)
{
//越界循环结束
if ((currentIdx * 2 + 2) > (t->size-1)) break;
//求最小孩子
//假设左孩子为最小孩子
minchildIdx = currentIdx * 2 + 1;
if (t->pRoot[minchildIdx] > t->pRoot[minchildIdx + 1]) minchildIdx++;
//最小孩子大于最后一个数据结束循环
if (t->pRoot[minchildIdx] > t->pRoot[t->size - 1]) break;
//最小孩子不大于最后一个数据，那就子覆盖父（孩子中最小的接替父节点）
t->pRoot[currentIdx] = t->pRoot[minchildIdx];
//循环
currentIdx = minchildIdx;
}
//4. 循环结束后，最后一个节点覆盖当前位置
t->pRoot[currentIdx] = t->pRoot[t->size - 1];
//5. size--
t->size--;
//6. 返回堆顶元素
return delData;
}
✨结果演示：
我们发现删除之后输出就变得有序了，这似乎和我们接下来将要讲的堆排序有点相似
第三步，✨堆排序
你猜对了，不是相似~就是
✨堆排序：
- 无序数组用堆插入思想插入
- 用删除堆顶思想删除
✨堆排序代码详解：
void heapSort(int* a, int len)
{
int* pTemp = (int*)malloc(sizeof(int) * len);
assert(pTemp);
myHeap h;
init(&h);
for (int i = 0; i < len; i++)
insert(&h, a[i]);
for (int i = 0; i < len; i++)
pTemp[i] = pop(&h);
memcpy(a, pTemp, sizeof(int)*len);
free(pTemp);
}
✨综合代码：
第四步，✨堆排序实际应用，Leetcode——215. 数组中的第K个最大元素
✨题目
给定整数数组
nums和整数k，请返回数组中第k个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第
k个最大的元素，而不是第k个不同的元素。你必须设计并实现时间复杂度为
O(n)的算法解决此问题。
✨ 示例 1:
输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5
✨示例 2:
输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4
✨ 提示：
1 <= k <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
我们这里的思路很简单，就是建立一个大顶堆，然后做k-1次删除，堆顶元素就是我们要找的
✨这里先放一下官方题解
void maxHeapify(int* a, int i, int heapSize)
{
int left = i * 2 + 1, right = i * 2 + 2, largest = i;
if (left < heapSize && a[left] > a[largest])
largest = left;
if (right < heapSize && a[right] > a[largest])
largest = right;
if (largest != i)
{
int t = a[i];
a[i] = a[largest], a[largest] = t;
maxHeapify(a, largest, heapSize);
}
}
void buildMaxHeap(int* a, int heapSize)
{
for (int i = heapSize / 2; i >= 0; --i)
maxHeapify(a, i, heapSize);
}
int findKthLargest(int* nums, int numsSize, int k)
{
int heapSize = numsSize;
buildMaxHeap(nums, heapSize);
for (int i = numsSize - 1; i >= numsSize - k + 1; --i)
{
int t = nums[0];
nums[0] = nums[i], nums[i] = t;
--heapSize;
maxHeapify(nums, 0, heapSize);
}
return nums[0];
}
✨第一个函数是下沉函数，这里就不用和大家多说了把~找到最大的孩子，如果最大的孩子比自己大就交换——大顶堆
✨第二个函数执行的是循环下沉，保证整个堆都是有序的，这里的i初始值为什么要是heapsize/2，附上下面的图解给大家看看~具体的证明后面了解到了会补充
我们可以看到我举的每个例子中，从heapsize/2位置递减循环下沉最后就会有序，当然它也有一个特点，就是没有孩子~当然这个解释说服力不大，后期附上详细的证明
✨最后就是执行了K-1次删除，然后取的堆顶元素
四、总结
本节详细讲解了堆的相关知识，他是最高效的优先级队列。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。✨下节将为大家带来
AVL（平衡二叉树）的讲解~