循环群和变换群

循环群

设$⟨G,\cdot ⟩$是群，$\forall a\in G$，令$\left(a\right)=\left\{a^i|i\in \mathbb{I}\right\}$
易证$\left(a\right)\le G$，$\left(a\right)$称为由$a$生成的子群
特别地，当$G=\left(a\right)$时，$G$为一个具有特殊结构的群

设$⟨G,\cdot ⟩$是群。若存在$a\in G$，使得$G=\left(a\right)$，则称$G$为循环群，并称$G$是由$a$生成的，$a$称为$G$的生成元

例子：
（1）$⟨{\mathbb{I}}_m,{+}_m⟩$是$m$阶循环群，生成元是$1$
（2）$⟨\mathbb{I},+⟩$是无限阶循环群，生成元是$1$和$-1$

定理1：每个循环群都是可交换的

定理2：设$G=\left(a\right)$
（1）若$\left|a\right|$无限，则$G\cong ⟨\mathbb{I},+⟩$
（2）若$\left|a\right|=n\in {\mathbb{I}}_{+}$，则$G\cong ⟨{\mathbb{N}}_n,{+}_n⟩$

证明：（1）设$\left|a\right|$无限，作$h:G\to \mathbb{I},a^i\mapsto i$
1.$h$是良定的，若$a^i=a^j$,则$a^{i-j}=e$，因为$\left|a\right|$无限，所以$i-j=0,i=j$
2.显然$h$双射
3.$h$同态，$\forall a^i,a^j\in G,h\left(a^i\cdot a^j\right)=h\left(a^{i+j}\right)=i+j=h\left(a^i\right)+h\left(a^j\right)$
综上所述，$h$是同构，$G\cong ⟨\mathbb{I},+⟩$

（2）设$\left|a\right|=n$，作$h:G\to {\mathbb{N}}_n,a^i\mapsto i\mathrm{mod}n$
1.$h$是良定的，若$a^I=a^j$则$a^{i-j}=e,n\mid \left(i-j\right)$,所以$i\mathrm{mod}n=j\mathrm{mod}n$,即$h\left(a^i\right)=h\left(a^j\right)$
2.$h$是单射，若$h\left(a^I\right)=h\left(a^j\right)$即$i\mathrm{mod}n=j\mathrm{mod}n$,则$n\mid \left(i-j\right)$,所以$a^{i-j}=e$，故$a^i=a^j$
3.$h$是满射，$\forall i\in {\mathbb{N}}_n,a^i\in G,h\left(a^I\right)=i\mathrm{mod}n=i$
4.$h$是同态，$\forall a^i,a^j\in G$
$$\begin{array}{rl}h\left(a^i\cdot a^j\right)& =h\left(a^{i+j}\right)\\ & =\left(i+j\right)\mathrm{mod}n\\ & =\left(i\mathrm{mod}n\right){+}_n\left(j\mathrm{mod}n\right)\\ & =h\left(a^i\right){+}_{n}h\left(a^j\right)\end{array}$$
综上所述，$h$是同构，$G\cong ⟨{\mathbb{N}}_n,{+}_n⟩$

由本定理，同阶的循环群必同构，因此常把$n$阶循环群记为$C_n$

推论1：设$G=\left(a\right)$
（1）若$G$为无限群，则$\left|a\right|$无限，且$G=\left\{\cdots ,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\cdots \right\}$
（2）若$\left|G\right|=n\in {\mathbb{I}}_{+}$，则$\left|a\right|=n$，且$G=\left\{e,a,a^2,\cdots ,a^{n-1}\right\}$

推论2：设$G$为$n$阶有限群，$a\in G$，则$G=\left(a\right)$当且仅当$\left|a\right|=n$

定理3：设群$G=\left(a\right)$
（1）若$G$为无限群，则$G$只有两个生成元$a$和$a^{-1}$
（2）若$\left|G\right|=n\in {\mathbb{I}}_{+}$，则$G=\left(a^r\right)$当且仅当$\left(r,n\right)=1$，即生成元有$\varphi \left(n\right)$个
其中$\varphi \left(n\right)=\left|\left\{r<n|\left(r,n\right)=1\right\}\right|$称为欧拉函数

证明：
（1）容易验证$a^{-1}$是生成元
设$a^m\in G$是生成元，即$G=\left(a^m\right)$
因为$a\in G$，所以$\exists t\in \mathbb{I}$使得$a={\left(a^m\right)}^t$，所以$a^{mt-1}=e$
因为$G$为无限群，所以$\left|a\right|$无限，所以$mt-1=0$，故$m=t=1$或$m=t=-1$

(2)必要性，设$G=\left(a^r\right)$，则有$\left|a^r\right|=n$
另外由元素的阶-定理2，$\left|a^r\right|=\frac{n}{\left(r,n\right)}$，故$\left(r,n\right)=1$

充分性：设$\left(r,n\right)=1$，则由扩展欧几里得，$\exists s,t\in \mathbb{I}$, 使$rs+nt=1$
于是$a=a^{rs+nt}={\left(a^r\right)}^s\cdot {\left(a^n\right)}^t$
因为$\left|a\right|=\left|G\right|=n$，所以$a={\left(a^r\right)}^s$,故$G=\left(a^r\right)$
因此$G=\left(a^r\right)$当且仅当$\left(r,n\right)=1$，又$G=\left\{e,a,a^2,\cdots ,a^{n-1}\right\}$
故$G$的生成元又$\varphi \left(n\right)$个

定理4：设群$G=\left(a\right),\left\{e\right\}\ne H\le G$, $a^m$是$H$中$a$的最小正幂
（1）$H=\left(a^m\right)$
（2）若$G$为无限群，则$H$为无限群
（3）若$\left|G\right|=n\in {\mathbb{I}}_{+}$，则$m\mid n$且$\left|H\right|=\frac{n}{m}$

证明：
（1）$\forall a^i\in H$，设$i=qm+r,\left(0\le r<m\right)$，则$a^r=a^i\cdot {\left(a^m\right)}^{-q}$
因为$a^i,a^m\in H$，所以$a^r\in H$,但是$a^m$是$H$中$a$的最小正幂，所以$r=0$
$a^i={\left(a^m\right)}^q$，故$H=\left(a^m\right)$
（2）若$G$为无限群，则$\left|a\right|$无限，所以$\left|a^m\right|$无限，又因为$H=\left(a^m\right)$，故$H$为无限群
（3）若$\left|G\right|=n$，则$\left|a\right|=n$，所以$a^n=e\in H$
因为$H=\left(a^m\right)$,故$m\mid n$
且$\left|H\right|=\left|a^m\right|=\frac{n}{\left(m,n\right)}=\frac{n}{m}$

定理5：设群$G=\left(a\right),\left|G\right|=n$,则对于$n$的每个正因子$d$，有且仅有一$d$阶子群
因此，$n$阶循环群的子群个数恰为$n$的正因子的个数

证明：$H=\left(a^{\frac{n}{d}}\right)$是一$d$阶子群

设$H^{\prime }=\left(a^m\right)$也是$d$阶子群，则$\left|a^m\right|=d,a^{md}=e$，所以
$$n\mid md,\frac{n}{d}\mid m$$
所以$a^m\in H$，从而$H^{\prime }\subseteq H$,又$\left|H^{\prime }\right|=\left|H\right|=d$，故$H^{\prime }=H$

变换群和置换群

给定一个结合$A$，$⟨A^A,\circ ⟩$是独异点，其中$\circ$是函数合成运算
令$P_A$为$A$到$A$的所有双射的集合，则$⟨P_A,\circ ⟩$是群，其中$1_A$是单位元，每个$f\in P_A$的逆元是其逆函数$f^{-1}$

定义：设$A$为集合，群$⟨P_A,\circ ⟩$的子群称为$A$的变换群

Cayley定理：任意一个群都与某个变换群同构

证明：设$⟨G,\ast ⟩$是群，$\forall a\in G$，作$f_a:G\to G,x\mapsto a\ast x$
（1）$f_a$是双射
$\forall x,y\in G$，若$f_a\left(x\right)=f_a\left(y\right)$，即$a\ast x=a\ast y$，由消去律$x=y$
$\forall y\in G,f_a\left(a^{-1}\ast y\right)=a\ast a^{-1}\ast y=y$,故$f_a$是满射

（2）令$G^{\prime }=\left\{f_a|a\in G\right\}$，则$\varnothing \ne G^{\prime }\subseteq P_G$，$\forall f_a,f_b\in G^{\prime },\forall x\in G$
$$f_a\circ f_b\left(x\right)=f_a\left(f_b\left(x\right)\right)=a\ast \left(b\ast x\right)=\left(a\ast b\right)\ast x$$
故$f_a\circ f_b=f_{a\ast b}\in G^{\prime }$。$\forall f_a\in G^{\prime },{\left(f_a\right)}^{-1}=f_{a^{-1}}\in G^{\prime }$
故$G^{\prime }\le P_G$，$⟨G^{\prime },\circ ⟩$是变换群
（3）作$\varphi :G\to G^{prime},a\mapsto f_a$
1.$\varphi$是单射，$\forall a,b\in G$，若$\varphi \left(a\right)=\varphi \left(b\right)$，即$f_a=f_b$，则$f_a\left(e\right)=f_b\left(e\right)$，即$a\ast e=b\ast e$，所以$a=b$

2.显然$\varphi$满射
3.$\varphi$是同态。$\forall a,b\in G,\varphi \left(a\ast b\right)=f_{a\ast b}=f_a\circ f_b=\varphi \left(a\right)\circ \varphi \left(b\right)$

因此$\varphi$是$G$到$G^{\prime }$的同构，故$⟨G,\ast ⟩\cong ⟨G^{\prime },\circ ⟩$

定义：有限集合$S$到自身的双射称为$S$上的置换，$\left|S\right|$称为置换的阶
$S$中的元素有时亦称为文字

定义：一个包含$n$个元素的集合上的所有置换在合成运算下构成的群称为$n$次对称群，记作$S_n$
$S_n$的含有$n$个元素的子群称为$n$次置换群
容易证明$\left|S_n\right|=n!$
设$S=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$,则$\pi \in S_n$常表示为
$$\pi =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \pi \left(1\right)& \pi \left(2\right)& \cdots & \pi \left(n\right)\end{array}\right)$$

Cayley定理-推论：任意一个有限群都与某个置换群同构

定义：把$S$中的元素$i_1$变为$i_2$，$i_2$变为$i_3$…$i_k$变为$i_1$，并使$S$中的其余元素保持不变的置换称为循环，也成为轮换，记为$\left(i_1{i}_2\cdots i_k\right)$,$k$称为循环长度，特别地，长度为2的循环称为对换

定理：（1）任一置换可表示成若干个无公共元素的循环之积
（2）任一置换可表示成若干对换之积，且对换个数的奇偶性不变

定义：若置换$\pi$可表示为奇数个对换的积，则称$\pi$为奇置换，否则称为偶置换

定理：令$A_n$为$S_n$中所有偶置换的集合，则$A_n\le S_n$，称为$n$次交代群，且$\left|A_n\right|=\frac{n!}{2}$

证明：群的有限子群的判定只需要考虑封闭性，由于偶置换的合成仍然是偶置换，故$A_n\le S_n$，作
$$\begin{gathered} f:A_n\to S_n-A_n,\pi \mapsto \left(12\right)\pi ; \\ g:S_n-A_n\to A_n,\pi \mapsto \left(12\right)\pi \end{gathered}$$
显然$f$和$g$都是单射，故$\left|A_n\right|=\left|S_n-A_n\right|=\frac{n!}{2}$

参考：
离散数学（刘玉珍）