最大公约数(GCD) 与 最小公倍数(LCM)的 定义、关系、求法

约数 和 倍数

如果数$a$能被数$b$整除，$a$就叫做$b$的倍数，$b$就叫做$a$的约数。

约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如：只能说$16$是某数的倍数，$2$是某数的约数，而不能说$16$是倍数，$2$是约数。

最大公约数

最大公约数：$Greatest$ $Common$ $Divisor$

几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：

$12、16$的公约数有$1、2、4$，其中最大的一个是$4$，$4$是$12$与$16$的最大公约数，一般记为$（12，16）=4$；

$12、15、18$的最大公约数是$3$，记为$（12，15，18）=3$。

最小公倍数

最小公倍数：$Least$ $Common$ $Multipler$

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数。例如：

$4$的倍数有$4、8、12、16$……，$6$的倍数有$6、12、18、24$……，$4$和$6$的公倍数有$12、24$……，其中最小的是$12$，一般记为$[4，6]=12$ ；

$12、15、18$的最小公倍数是$180$。记为$[12，15，18]=180$。

若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。

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最大公约数与最小公倍数的关系

经过观察可以发现：

• $两个数的最大公约数\times 两个数的最小公倍数=所有数的积$

这是问什么呢？
因为两个数的最小公倍数为它们的所有不重复的质因子的积；
而两个数的最大公约数为它们所以重复的质因子的积；
因此，只有将最小公倍数与GVD相乘，就可以求出所有数的积。
我们也可以的到其它的两条：

• $所有数的积÷两个数的最小公倍数=两个数的最大公约数$
• $所有数的积÷两个数的最大公约数=两个数的最小公倍数$

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求最大公约数、最小公倍数

这里推荐辗转相除法：

辗转相除法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。
扩展欧几里得算法可用于RSA加密等领域。

例一

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
1997 ÷ 615 余 152
615 ÷ 152 余 7
152 ÷ 7 余 5
7 ÷ 5 余 2
5 ÷ 2 余 1
2 ÷ 1 余 0
至此，最大公约数为1

例二

假如需要求 1255 和 840 两个正整数的最大公约数，用欧几里得算法，是这样进行的：
1255 ÷ 840 余 415
840 ÷ 415 余 10
415 ÷ 10 余 5
10 ÷ 5 余 0
至此，最大公约数为5
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1； 1255 和 840 两个正整数的最大公约数5。

又因为我们知道最大公约数与最小公倍数的关系，因此可以通过这个方法快速求出最小公倍数。