高中奥数 2021-08-15

2021-08-15-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题07）

、相交于、两点,过作直线分别交、于点、,过再作直线分别交、于点、.点位于点、和、之间,、分别为、的中点.证明.

证明

图1

如图,连结.显然,四边形和四边形都是圆内接四边形,所以,,.因此,.

同理,,所以,(1).且.从而,(2).

由(1)、(2)知.

2021-08-15-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题08）

已知是线段的中点,过点、的圆与过点、的相交于、两点,是上(不包含点)的中点,是上(不包含点)的中点.求证:.

证明

图2

如图,设、相交于点,、相交于点.

由,知.

又,则.于是,,即.

同理,,由,知.

又,则.

于是,,即.

同理,.

而.所以,.

2021-08-15-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题09）

已知梯形,满足,,又点、分别在和上,且和分别是和的角平分线.与交于点,过作的平行线交于点,过作的平行线交于点,又分别交、于点、.证明:.

证明

图3

如图,设与交于点.

由,,有.

故.

易知平分,故平行四边形为菱形.

又,故.

又,,故.

从而,.

同理,.

所以,.