一个行向量与一个列向量的乘积的值等于该列向量与行向量乘积矩阵的迹的值
根据给定条件，我们有一个非零列向量 α \alpha α，一个非零行向量 β ⊤ \beta^\top β⊤，并且 α β ⊤ = A \alpha \beta^\top = A αβ⊤=A，其中 A A A 是一个矩阵。
要证明 β ⊤ α = tr ( A ) \beta^\top \alpha = \operatorname{tr}(A) β⊤α=tr(A)，我们可以首先计算 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α：
β ⊤ α = t r ( β ⊤ α ) = t r ( α β ⊤ ) β^⊤α=tr(β^⊤α)=tr(αβ^⊤) β⊤α=tr(β⊤α)=tr(αβ⊤)
由于 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α 是一个 1 × 1 1 \times 1 1×1 的矩阵（标量），它的迹就是其唯一的元素。因此，我们可以将 tr ( β ⊤ α ) \operatorname{tr}(\beta^\top \alpha) tr(β⊤α) 改写为 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α：
β ⊤ α = t r ( β ⊤ α ) = t r ( α β ⊤ ) β^⊤α=tr(β^⊤α)=tr(αβ^⊤) β⊤α=tr(β⊤α)=tr(αβ⊤)
现在，我们知道 α β ⊤ = A \alpha \beta^\top = A αβ⊤=A，将其代入上式：
β ⊤ α = t r ( A ) β^⊤α=tr(A) β⊤α=tr(A)
因此，我们证明了 β ⊤ α = tr ( A ) \beta^\top \alpha = \operatorname{tr}(A) β⊤α=tr(A)。
这个结果表明，在给定条件下，一个非零列向量 α \alpha α 乘以一个非零行向量 β ⊤ \beta^\top β⊤ 的结果的转置和乘积矩阵 A A A 的迹是相等的。