根据给定条件,我们有一个非零列向量 α \alpha α,一个非零行向量 β ⊤ \beta^\top β⊤,并且 α β ⊤ = A \alpha \beta^\top = A αβ⊤=A,其中 A A A 是一个矩阵。
要证明 β ⊤ α = tr ( A ) \beta^\top \alpha = \operatorname{tr}(A) β⊤α=tr(A),我们可以首先计算 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α:
β ⊤ α = t r ( β ⊤ α ) = t r ( α β ⊤ ) β^⊤α=tr(β^⊤α)=tr(αβ^⊤) β⊤α=tr(β⊤α)=tr(αβ⊤)
由于 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α 是一个 1 × 1 1 \times 1 1×1 的矩阵(标量),它的迹就是其唯一的元素。因此,我们可以将 tr ( β ⊤ α ) \operatorname{tr}(\beta^\top \alpha) tr(β⊤α) 改写为 β ⊤ α \beta^\top \alpha β⊤α:
β ⊤ α = t r ( β ⊤ α ) = t r ( α β ⊤ ) β^⊤α=tr(β^⊤α)=tr(αβ^⊤) β⊤α=tr(β⊤α)=tr(αβ⊤)
现在,我们知道 α β ⊤ = A \alpha \beta^\top = A αβ⊤=A,将其代入上式:
β ⊤ α = t r ( A ) β^⊤α=tr(A) β⊤α=tr(A)
因此,我们证明了 β ⊤ α = tr ( A ) \beta^\top \alpha = \operatorname{tr}(A) β⊤α=tr(A)。
这个结果表明,在给定条件下,一个非零列向量 α \alpha α 乘以一个非零行向量 β ⊤ \beta^\top β⊤ 的结果的转置和乘积矩阵 A A A 的迹是相等的。