高数基础3

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极限的概念，性质以及存在准则

求极限的方法

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常用的基本极限

 1的无穷次方常用的结论

例题：

 方法2：利用等价无穷小代换求极限

例题：

 常用的等价无穷小

 利用有理运算法则求极限

例题

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极限的概念，性质以及存在准则

 

 

 

 

求极限的方法

 

 我们先讲画对号的这五类极限的求法

常用的基本极限

后面的两个极限有记忆方法：

 

 我们写两个和这个类似的极限，判断极限值是否存在：

 答：极限值不存在，我们首先要知道一个定义：对于这类幂指函数，我们必须保证底数大于0，对于第一个极限，当x从x轴的左侧趋向于0时，底数是小于0的，不符合我们的条件。

而对于第二个极限，当x趋向于负无穷时，函数的底数是负数，不符合条件。

那么对于下面的两个极限应该如何求呢？

 

 我们可以将幂指函数转换为对数函数进行求解：

 所以对于这类形式的无穷大的零次方的结果为1.

 

对于这类问题，我们可以记忆为老大问题：

例如当x趋向于无穷大的时候，最高此项代表的就是老大，当x趋向于0时，最低此项代表的就是老大。

我们举几个例子：

 

 我们需要分情况：

 

 1的无穷次方常用的结论

我们进行证明：

 

 我们需要保证里面的a(x)的极限为0，B(x)的极限为无穷。

例题：

 第一种写法：

 这种写法是错误的：

 正确的写法：

 

 

第二种解法：

 

 

我们先检查极限类型，为1的无穷。

 方法2：利用等价无穷小代换求极限

乘除关系可以换，加减关系看情况换。

 

 

对于减法，当代换之后的两个无穷小不等价的情况下，可以使用代换。

简单的说：不等价的时候，可以用减法代换。

我们进行证明：

 

 对于加法，当代换之后的两个求极限的结果存在，并且不为-1，我们就可以使用加法的代换。

例题：

 

 常用的等价无穷小

 

 我们对这个极限进行证明：

 

 由上面的两条就可以推出这个结论：

 

我们可以使用洛必达法则进行证明：

 

例题 

 

 

  

 

 不对，原因如下：

 我们该如何做题呢？

 我们先分析极限的形式：

极限的形式为0比0

第二种解法：洛必达法则：

 第三种解法：使用拉格朗日中值定理：

 

先看极限的形式：

极限的形式为0比0

 

第二种方法：利用洛必达法则：

 

 方法3：使用拉格朗日中值定理：

 

 

 解法2：

 我们对这个结论进行证明：

对于条件我们进行说明：

 

 我们使用这个结论来解决题目：

 

 这个结论适用于求幂指函数的极限。

我们只对a(x)和a(x)*B(x)有要求，对B(x)本身没有要求：

例如：

 

极限的形式是： 零比零

 

我们先判断极限的形式：

极限的形式是0比0

 

第二种方法：我们可以使用洛必达法则：

 利用有理运算法则求极限

 前提条件是两个极限存在才可以使用。

 我们可以使用反证法：

 

 例如:

 

 

 

 只有一个存在和一个不存在相加减的结果是确定的不存在，其他都是不确定的。

 我们可以把极限中的非零因子提取出来。

 如果极限存在的话，假如分母的极限为0，那么分子的极限一定为0.

 我们进行思考，如果极限存在，假如分子的极限为0，那么分母的极限是否为0？

我们只需举出一个反例即可：

 什么情况下分子为0可以推出分母为0？

极限为A并且不等于0的前提下，分子的极限为0可以推出分母的极限为0.

总结：商的极限存在，分母为0可以推出分子为0。商的极限存在并且不等于0的前提下，分子为0可以推出分母为0.

例题

 

 

 我们引入一个结论：

我们进行证明：

 

 

 

 

 

 

我们先看极限的类型，是无穷比无穷。

 对于无穷比无穷，我们采用的方法是把无穷因子提取出来，这里的无穷因子是x

 第二种方法：

我们进行分解：

第三种方法：抓大头

适合选择题或者填空题：