【基础知识整理】图的基本概念 & 邻接矩阵 & 邻接表
一、图概述
定义：
图(graph)是由一些点(vertex)和这些点之间的连线(edge)所组成的；
其中，点通常被成为"顶点(vertex)“，而点与点之间的连线则被成为"边或弧”(edege)。
通常记为，G=(V,E)。
图是一种重要的数据结构，基本概念包括：顶点，边，有向，无向，权，路径回路，连通域，邻接点，度，入边，出边，入度，出度等等，很好理解。
参考这篇博客：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3691463.html
二、图基础
2 图的分类
根据边是否有方向，将图可以划分为：无向图和有向图。
2.1.1 无向图
即两个顶点之间没有明确的指向关系，只有一条边相连，例如，A顶点和B顶点之间可以表示为
上面的图G0是无向图，无向图的所有的边都是不区分方向的。
我们用 **图 = （顶点集合，{边集合}）**来表示图。
G0=(V1,{E1}) 其中，
(01) V1={A,B,C,D,E,F}。 V1表示由"A,B,C,D,E,F"几个顶点组成的集合。
(02) E1={(A,B),(A,C),(B,C),(B,E),(B,F),(C,F), (C,D),(E,F),(C,E)}。 E1是由边(A,B),边(A,C)…等等组成的集合。其中，(A,C)表示由顶点A和顶点C连接成的边。
2.2.2 有向图
顶点之间是有方向性的，例如A和B顶点之间，A指向了B，B也指向了A，两者是不同的，如果给边赋予权重，那么这种异同便更加显著了
上面的图G2是有向图。
和无向图不同，有向图的所有的边都是有方向的！
3、邻接点和度
3.1 邻接点
一条边上的两个顶点叫做邻接点。
例如，上面无向图G0中的顶点A和顶点C就是邻接点。
在有向图中，除了邻接点之外；还有"入边"和"出边"的概念。
顶点的入边，是指以该顶点为终点的边。而顶点的出边，则是指以该顶点为起点的边。
例如，上面有向图G2中的B和E是邻接点；
3.2 度
在无向图中，某个顶点的度是邻接到该顶点的边(或弧)的数目。
例如，上面无向图G0中顶点A的度是2。
在有向图中，度还有"入度"和"出度"之分。
某个顶点的入度，是指以该顶点为终点的边的数目。
而顶点的出度，则是指以该顶点为起点的边的数目。顶点的度=入度+出度。
例如，上面有向图G2中，顶点B的入度是2，出度是3；顶点B的度=2+3=5。
4、路径和回路
路径：如果顶点(Vm)到顶点(Vn)之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。
路径长度：路径中"边的数量"。
简单路径：若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。
回路：若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。
简单回路：第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。
三、图的存储结构
上面了解了"图的基本概念"，下面开始介绍图的存储结构。图的存储结构，常用的是"邻接矩阵"和"邻接表"。
3.1 邻接矩阵
邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。假设图中顶点数为n，则邻接矩阵定义为：
下面通过示意图来进行解释。
图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。
图中的G2是有向图和它对应的邻接矩阵。
通常采用两个数组来实现邻接矩阵：一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息。
邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。
3.2 邻接表
邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的"邻接矩阵"，它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。
图中的G1是无向图和它对应的邻接矩阵。
图中的G2是无向图和它对应的邻接矩阵。
3.3 十字链表
对于邻接表来说，计算顶点的入度是不方便的，那么有没有一种存储方式能够轻松的计算顶点的入度和出度呢，在十字链表中重新定义了节点的结构：
3.4 使用
实际使用，我们在拓扑排序中，使用邻接矩阵来实现，这是i个二维数组
首先，定义一些属性，用来存放节点数、顶点名称、排序后的顺序，图关系矩阵
/**
* 节点个数
*/
public int size;
/**
* 顶点名称
*/
char [] nodeName;
/**
* 排序后的顺序
*/
List result;
/**
* 图关系矩阵
*/
int [][] matrix;
然后排序
// 排序
public void tuopuSort() {
System.out.println("\n");
// 一个一维数组，用来保存顶点的入度
int indegree[] = new int[size];
boolean indegreeV[] = new boolean[size];
// 给入度输入值
for(int i = 0; i < size; i ++) {
indegreeV[i] = false;
for (int j = 0; j < size; j ++) {
if (matrix[i][j] == 1) {
indegree[j] = indegree[j] + 1;
}
}
}
System.out.println("\n");
//开始进行遍历
LinkedList<String> nodes = new LinkedList<String>();
// 将入度为 0 的节点入队列
for (int x = 0; x < size; x ++) {
if (indegree[x] == 0) {
System.out.println(nodeName[x]);
nodes.add(String.valueOf(nodeName[x]));
}
}
int j = 0;
while (!nodes.isEmpty()) {
for (int x = 0; x < size; x ++) {
System.out.println("\n 数组 x = " + x + ", ");
if (indegree[x] == 0 && !indegreeV[x]) {
indegreeV[x] = true;
String s = nodes.poll();
System.out.println("add = " +s);
result.add(s);
// 找到跟它相关的节点,，入度 -1
for (int y = 0; y < size; y ++) {
if (matrix[x][y] == 1) {
System.out.println("相关的节点 -1 = " + y);
indegree[y] = indegree[y] - 1;
if (indegree[y] == 0) {
System.out.println("相关的节点 -1 后， 入度为0， " + nodeName[y]);
nodes.add(String.valueOf(nodeName[y]));
}
}
}
} else {
}
}
j ++;
}
System.out.println(result);
}
四、图的遍历
深度优先遍历（DFS） & 广度优先遍历（BFS）
详细请看另外一篇文章
参考文章
图的理论基础