【高数+复变函数】傅里叶变换的性质

文章目录

  • 【高数+复变函数】傅里叶变换的性质
    • 一、常见性质
      • 1.1 线性性质
      • 1.2 位移性质
      • 1.3 微分性质
      • 1.4 积分性质
      • 1.5 乘积定理
      • 1.6 能量积分
    • 二、卷积
      • 2.1 卷积运算
      • 2.2 运算应用
      • 2.3 卷积定理
    • 三、相关函数*

【高数+复变函数】傅里叶变换的性质

上一节:【高数+复变函数】傅里叶变换

回顾:在上一节傅里叶变换中,最重要的是傅里叶变换的概念:
傅里叶变换: F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t ,记为 F ( ω ) = F [ f ( t ) ] 傅里叶逆变换: f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω ,记为 f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] 傅里叶变换:F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t,记为F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\\傅里叶逆变换: f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega,记为f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)] 傅里叶变换:F(ω)=+f(t)etdt,记为F(ω)=F[f(t)]傅里叶逆变换:f(t)=2π1+F(ω)etdω,记为f(t)=F1[F(ω)]
以及单位脉冲函数的定义及性质:
∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) f ( t ) d t = lim ⁡ ε → 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ε ( t ) f ( t ) d t ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm{d}t=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)\mathrm{d}t\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t-t_0\right)f(t)\mathrm{d}t=f(t_0) +δ(t)f(t)dt=ε0lim+δε(t)f(t)dt+δ(tt0)f(t)dt=f(t0)
基于对上述知识的掌握,这一节我们学习傅里叶变换的常见性质及卷积运算。

一、常见性质

1.1 线性性质

F [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = α F 1 ( ω ) + β F 2 ( ω ) F − 1 [ α F 1 ( ω ) + β F 2 ( ω ) ] = α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) . \mathscr{F}[\begin{array}{c}\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)\end{array}]=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}\big[\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\big]=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t). F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)F1[αF1(ω)+βF2(ω)]=αf1(t)+βf2(t).

直接把线性式代入定义即可推出

1.2 位移性质

F [ f ( t ± t 0 ) ] = e ± j ω t 0 F ( ω ) F[f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0}F(\omega) F[f(t±t0)]=e±t0F(ω)

它表明时间函数 f ( t ) f(t) f(t)沿 t t t轴左右位移(左加右减) t 0 t_0 t0个单位时的傅里叶变换等于 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换乘以因子 e ± i ω t 0 e^{\pm i\omega t_0} e±t0

做个变量代换证明:
F [ f ( t ± t 0 ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ± t 0 ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j ω ( u ∓ t 0 ) d u (令 u = t + t 0 ) = e ± j ω t 0 ∫ − ∞ + ∞ f ( u ) e − j ω u d u = e ± j ω t 0 F ( ω ) F[f(t\pm t_0)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t \pm t_0)\mathrm{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)\mathrm{e}^{-j\omega(u\mp t_0)}\mathrm{d}u(令u=t+t_0)\\ =\mathrm{e}^{\pm j\omega t_0}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\left.u\right)\mathrm{e}^{-j\omega u}\mathrm{d}u=e^{\pm j\omega t_0}F(\omega) F[f(t±t0)]=+f(t±t0)etdt=+f(u)e(ut0)du(令u=t+t0)=e±t0+f(u)eudu=e±t0F(ω)

例如:

已知钟形脉冲函数的傅里叶变换: F [ e − β t 2 ] = π β e − ω 2 4 β . \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-\beta t^2}\right]=\sqrt{\frac{\pi}{\beta}}\mathrm{e}^{-\frac{\omega^2}{4\beta}}. F[eβt2]=βπ e4βω2. F [ e − β ( t − t 0 ) 2 ] = π β e − ( j ω t 0 + ω 2 4 β ) . {\cal F}\Big[e^{-\beta(t-t_{0})^{2}}\Big]=\sqrt{\frac{\pi}{\beta}}e^{-\Big(j\omega t_{0}+\frac{\omega^{2}}{4\beta}\Big)}. F[eβ(tt0)2]=βπ e(t0+4βω2).

1.3 微分性质

如果 f ( t ) f(t) f(t) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当 ∣ t ∣ → + ∞ \mid t\mid\rightarrow+\infty t∣→+时, f ( t ) → 0 f(t)\rightarrow0 f(t)0则:
F [ f ′ ( t ) ] = j ω F [ f ( t ) ] . \mathcal{F}\big[f^\prime(t)\big]=\text{j}\omega\mathcal{F}\big[f(t)\big]. F[f(t)]=jωF[f(t)].

代入定义式后用分部积分的性质即可证明,前述条件不可缺。

推论:若 f ( k ) ( t ) f^{(k)}(t) f(k)(t) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当 ∣ t ∣ → + ∞ \mid t\mid\rightarrow+\infty t∣→+时, f ( k ) ( t ) → 0 f^{(k)}(t)\rightarrow0 f(k)(t)0则:
F [ f ( n ) ( t ) ] = ( j ω ) n F [ f ( t ) ] \mathscr{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n \mathscr{F}[f(t)] F[f(n)(t)]=()nF[f(t)]
同样,设: F [ f ( t ) ] = F ( ω ) \mathscr{F}[f(t)]=F(\omega) F[f(t)]=F(ω),则
d n   d ω n F ( ω ) = ( − j ) n F [ t n f ( t ) ] \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} \omega^n} F(\omega)=(-\mathrm{j})^n \mathscr{F}\left[t^n f(t)\right]  dωndnF(ω)=(j)nF[tnf(t)]

直接对 F ( w ) F(w) F(w)的展开式求导即可证明。

在实际中, 常常用象函数的导数公式来计算 F [ t n f ( t ) ] \mathscr{F}\left[t^n f(t)\right] F[tnf(t)].

1.4 积分性质

如果当 t → + ∞ t \rightarrow+\infty t+ 时, g ( t ) = ∫ − ∞ t f ( t ) d t → 0 g(t)=\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t \rightarrow 0 g(t)=tf(t)dt0, 那么
F [ ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] = 1 j ω F [ f ( t ) ] \mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} \mathscr{F}[f(t)] F[tf(t)dt]=jω1F[f(t)]

证明:利用 F [ d d t ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] \mathscr{F}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right] F[dtdtf(t)dt]来过渡
F [ f ( t ) ] = F [ d d t ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] = F [ j ω ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] \mathscr{F}[f(t)]=\mathscr{F}\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right]=\mathscr{F}\left[j\omega\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right] F[f(t)]=F[dtdtf(t)dt]=F[tf(t)dt]
所以 F [ ∫ − ∞ t f ( t ) d t ] = 1 j ω F [ f ( t ) ] \mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} \mathscr{F}[f(t)] F[tf(t)dt]=jω1F[f(t)]

另:当 lim ⁡ t → + ∞ g ( t ) ≠ 0 \lim _{t \rightarrow+\infty} g(t) \neq 0 limt+g(t)=0 时, 结果有变化,会在学完卷积之后讲

1.5 乘积定理

 若  F 1 ( ω ) = F [ f 1 ( t ) ] , F 2 ( ω ) = F [ f 2 ( t ) ] , 则  ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ f 2 ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) ‾ F 2 ( ω ) d ω , ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ‾ d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) ‾ d ω , \begin{aligned} \text { 若 } F_1(\omega)= & \mathscr{F}\left[f_1(t)\right], F_2(\omega)= \mathscr{F}\left[f_2(t)\right] \text {, 则 } \\ & \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f_1(t)} f_2(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{F_1(\omega)} F_2(\omega) \mathrm{d} \omega, \\ & \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t) \overline{f_2(t)} \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_1(\omega) \overline{F_2(\omega)} \mathrm{d} \omega,\end{aligned}   F1(ω)=F[f1(t)],F2(ω)=F[f2(t)] +f1(t)f2(t)dt=2π1+F1(ω)F2(ω)dω,+f1(t)f2(t)dt=2π1+F1(ω)F2(ω)dω,

证明过程涉及到交换内外积分顺序:
∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ f 2 ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ [ 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) e i ω t   d ω ] d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) ‾ e i ω t   d t ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) e − i ω t ‾   d t ] d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F 2 ( ω ) F 1 ( ω ) ‾ d ω \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f_1(t)} f_2(t) \mathrm{d}t & =\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f_1(t)}\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_2(\omega) \mathrm{e}^{i \omega t} \mathrm{~d} \omega\right] \mathrm{d} t \\ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_2(\omega)\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f_1(t)} \mathrm{e}^{i \omega t} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_2(\omega)\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f_1(t) \mathrm{e}^{-i \omega t}} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} \omega \\ & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F_2(\omega) \overline{F_1(\omega)} \mathrm{d} \omega \end{aligned} +f1(t)f2(t)dt=+f1(t)[2π1+F2(ω)et dω]dt=2π1+F2(ω)[+f1(t)et dt]dω=2π1+F2(ω)[+f1(t)et dt]dω=2π1+F2(ω)F1(ω)dω

1.6 能量积分

F ( ω ) = F [ f ( t ) ] F(\omega)=F[f(t)] F(ω)=F[f(t)]

则:
∫ − ∞ + ∞ [ f ( t ) ] 2   d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2   d ω \int_{-\infty}^{+\infty}[f(t)]^2 \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2 \mathrm{~d} \omega +[f(t)]2 dt=2π1+F(ω)2 dω

乘积定理中两式相同即2得

二、卷积

设函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 都是 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+) 上的绝对可积函数, 积分
∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau +f1(τ)f2(tτ)dτ
称为函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 在区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+) 上的卷积,记为 ( f 1 ∗ f 2 ) ( t ) \left(f_1 * f_2\right)(t) (f1f2)(t) f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) f_1(t) * f_2(t) f1(t)f2(t)

2.1 卷积运算

  1. 交换律 f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = f 2 ( t ) ∗ f 1 ( t ) f_1(t) * f_2(t)=f_2(t) * f_1(t) f1(t)f2(t)=f2(t)f1(t).

    变量代换即可证明

  2. 结合律 [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] ∗ f 3 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ [ f 2 ( t ) ∗ f 3 ( t ) ] \left[f_1(t) * f_2(t)\right] * f_3(t)=f_1(t) *\left[f_2(t) * f_3(t)\right] [f1(t)f2(t)]f3(t)=f1(t)[f2(t)f3(t)]

  3. 分配律 f 1 ( t ) ∗ [ f 2 ( t ) + f 3 ( t ) ] = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) + f 1 ( t ) ∗ f 3 ( t ) f_1(t) *\left[f_2(t)+f_3(t)\right]=f_1(t) * f_2(t)+f_1(t) * f_3(t) f1(t)[f2(t)+f3(t)]=f1(t)f2(t)+f1(t)f3(t)

    定义展开即可证明

    后面的四个性质仅做了解

  4. 卷积的数乘
    a [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = [ a f 1 ( t ) ] ∗ f 2 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ [ a f 2 ( t ) ] ( a a\left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\left[a f_1(t)\right] * f_2(t)=f_1(t) *\left[a f_2(t)\right](a a[f1(t)f2(t)]=[af1(t)]f2(t)=f1(t)[af2(t)](a 为常数);

  5. 卷积的微分

d d t [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = d d t f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ d d t f 2 ( t ) ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f_1(t) * f_2(t)=f_1(t) * \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f_2(t) ; dtd[f1(t)f2(t)]=dtdf1(t)f2(t)=f1(t)dtdf2(t);

  1. 卷积的积分
    ∫ − ∞ t [ f 1 ( ξ ) ∗ f 2 ( ξ ) ] d ξ = f 1 ( t ) ∗ ∫ − ∞ t f 2 ( ξ ) d ξ = ∫ − ∞ t f 1 ( ξ ) d ξ ∗ f 2 ( t ) \int_{-\infty}^t\left[f_1(\xi) * f_2(\xi)\right] \mathrm{d} \xi=f_1(t) * \int_{-\infty}^t f_2(\xi) \mathrm{d} \xi=\int_{-\infty}^t f_1(\xi) \mathrm{d} \xi * f_2(t) t[f1(ξ)f2(ξ)]dξ=f1(t)tf2(ξ)dξ=tf1(ξ)dξf2(t)
  2. 对卷积, 还有如下的不等式

∣ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ∣ ⩽ ∣ f 1 ( t ) ∣ ∗ ∣ f 2 ( t ) ∣ \left|f_1(t) * f_2(t)\right| \leqslant\left|f_1(t)\right| *\left|f_2(t)\right| f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)

2.2 运算应用

  1. 与单位脉冲函数的卷积
    f ( t ) ∗ δ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( t − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x − t ) d x = f ( t ) (单位脉冲函数的性质) \begin{aligned} & f(t) * \delta(t) \\ = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(t-x) d x \\ = & \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x-t) d x \\ = & f(t) (单位脉冲函数的性质) \end{aligned} ===f(t)δ(t)+f(x)δ(tx)dx+f(x)δ(xt)dxf(t)(单位脉冲函数的性质)

  2. 如果 t < 0 t<0 t<0 时, f 1 ( t ) = 0 , f 2 ( t ) = 0 f_1(t)=0, f_2(t)=0 f1(t)=0,f2(t)=0, 则卷积变为
    f ( t ) = ( f 1 ∗ f 2 ) ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ 0 + ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ + ∫ t + ∞ = ∫ 0 t f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ \begin{aligned} f(t) & =\left(f_1 * f_2\right)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau \\ & =\int_{-\infty}^0+\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau+\int_t^{+\infty}=\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau \end{aligned} f(t)=(f1f2)(t)=+f1(τ)f2(tτ)dτ=0+0tf1(τ)f2(tτ)dτ+t+=0tf1(τ)f2(tτ)dτ

例 求函数 f 1 ( t ) = { 0 , t < 0 t , t > 0 f_1(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, t<0 \\ t, t>0\end{array}\right. f1(t)={0,t<0t,t>0 f 2 ( t ) = { 0 , t < 0 sin ⁡ t , t > 0 f_2(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0 \\ \sin t, & t>0\end{array}\right. f2(t)={0,sint,t<0t>0 的卷积。

【高数+复变函数】傅里叶变换的性质_第1张图片

我们可以用图 1-14(a) 和 (b) 来表示 f 1 ( τ ) f_1(\tau) f1(τ) f 2 ( t − τ ) f_2(t-\tau) f2(tτ) 的图形, 当 t < 0 t<0 t<0 时, f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) = 0 f_1(\tau) f_2(t-\tau)=0 f1(τ)f2(tτ)=0; 而 f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) ≠ 0 f_1(\tau) f_2(t-\tau) \neq 0 f1(τ)f2(tτ)=0 的区间从图 1 − 14 1-14 114 中可以看出, 在 t ⩾ 0 t \geqslant 0 t0 时, 为 [ 0 , t ] [0, t] [0,t]所以
f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ 0 t τ sin ⁡ ( t − τ ) d τ = τ cos ⁡ ( t − τ ) ∣ 0 t − ∫ 0 t cos ⁡ ( t − τ ) d τ = t − sin ⁡ t \begin{aligned} f_1(t) * f_2(t) & =\int_0^t \tau \sin (t-\tau) \mathrm{d} \tau \\ & =\left.\tau \cos (t-\tau)\right|_0 ^t-\int_0^t \cos (t-\tau) \mathrm{d} \tau \\ & =t-\sin t \end{aligned} f1(t)f2(t)=0tτsin(tτ)dτ=τcos(tτ)0t0tcos(tτ)dτ=tsint

2.3 卷积定理

F 1 ( ω ) = F [ f 1 ( t ) ] , F 2 ( ω ) = F [ f 2 ( t ) ] F_1(\omega)=F\left[f_1(t)\right], F_2(\omega)=F\left[f_2(t)\right] F1(ω)=F[f1(t)],F2(ω)=F[f2(t)],则
F [ ( f 1 ∗ f 2 ) ( t ) ] = F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) \mathscr{F}\left[\left(f_1 * f_2\right)(t)\right]=F_1(\omega) F_2(\omega) F[(f1f2)(t)]=F1(ω)F2(ω)

证明:

F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = ∫ − ∞ + ∞ [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] e − j ω t   d t = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ ] e − j ω t   d t = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) e − j ω τ f 2 ( t − τ ) e − j ω ( − τ ) d τ d t = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) e − j ω τ [ ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( t − τ ) e − j ω ( t − τ ) d ( t − τ ) ] d τ = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω ) \begin{aligned} \mathscr{F}\left[f_1(t) * f_2(t)\right] & =\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_1(t) * f_2(t)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \tau} f_2(t-\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(-\tau)} \mathrm{d} \tau \mathrm{d} t\\ & =\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \tau}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(t-\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(t-\tau)} \mathrm{d} (t-\tau)\right] \mathrm{d} \tau \\ & =F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)\end{aligned} F[f1(t)f2(t)]=+[f1(t)f2(t)]ejωt dt=+[+f1(τ)f2(tτ)dτ]ejωt dt=++f1(τ)ejωτf2(tτ)ejω(τ)dτdt=+f1(τ)ejωτ[+f2(tτ)ejω(tτ)d(tτ)]dτ=F1(ω)F2(ω)

对称也有(不证明):
F [ f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) , \mathscr{F}\left[f_1(t) \cdot f_2(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_1(\omega) * F_2(\omega), F[f1(t)f2(t)]=2π1F1(ω)F2(ω),
推广:
F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ∗ ⋯ ∗ f n ( t ) ] = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω ) ⋅ ⋯ ⋅ F n ( ω ) , F [ f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ⋅ ⋯ ⋅ f n ( t ) ] = 1 ( 2 π ) n − 1 F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) ∗ ⋯ ∗ F n ( ω ) . \begin{gathered} \mathscr{F}\left[f_1(t) * f_2(t) * \cdots * f_n(t)\right]=F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) \cdot \cdots \cdot F_n(\omega), \\ \mathscr{F}\left[f_1(t) \cdot f_2(t) \cdot \cdots \cdot f_n(t)\right]=\frac{1}{(2 \pi)^{n-1}} F_1(\omega) * F_2(\omega) * \cdots * F_n(\omega) . \end{gathered} F[f1(t)f2(t)fn(t)]=F1(ω)F2(ω)Fn(ω),F[f1(t)f2(t)fn(t)]=(2π)n11F1(ω)F2(ω)Fn(ω).

三、相关函数*

对于两个不同的函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t), 称积分
∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t ) f 2 ( t + τ ) d t \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t) f_2(t+\tau) \mathrm{d} t +f1(t)f2(t+τ)dt
为两个函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t) 的互相关函数, 用记号 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ) 表示,而积分 ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( t + τ ) f 2 ( t ) d t \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t+\tau) f_2(t) \mathrm{d} t +f1(t+τ)f2(t)dt记为 R 21 ( τ ) R_{21}(\tau) R21(τ)

f 1 ( t ) = f 2 ( t ) = f ( t ) f_1(t)=f_2(t)=f(t) f1(t)=f2(t)=f(t) 时, 称积分
∫ − ∞ + ∞ f ( t ) f ( t + τ ) d t \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) f(t+\tau) \mathrm{d} t +f(t)f(t+τ)dt
为函数 f ( t ) f(t) f(t) 的自相关函数 (简称相关函数). 用记号 R ( τ ) R(\tau) R(τ) 表示。

性质:

  • R ( − τ ) = R ( τ ) R(-\tau)=R(\tau) R(τ)=R(τ).

    定义和变量代换来证明

  • R 21 ( τ ) = R 12 ( − τ ) R_{2 1}(\tau)=R_{12}(-\tau) R21(τ)=R12(τ)

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