2023 年第三届长三角高校数学建模竞赛题目A思路分享

A 题 快递包裹装箱优化问题

2022 年，中国一年的包裹已经超过 1000 亿件，占据了全球快递事务量的一 半以上。近几年，中国每年新增包裹数量相当于美国整个国家一年的包裹数量， 十年前中国还是物流成本最昂贵的国家，当前中国已经建立起全世界最强大、最 先进的快递物流体系。 在包裹的打包环节，选取合适的包装耗材非常重要。由于包裹的基数大，因 此每个包裹耗材成本的略微降低，也能带来7  极大的经济效益。图 1 是一些纸箱实 物样式，图 2 是某种三维装箱示意图。

图1 纸箱样式 图2 三维装箱示意图

附件 1 的装箱数据中给出了订单数据和耗材数据。根据以上背景，请你们的 团队完成以下问题：

问题1.针对附件1装箱数据中给出的订单数据和耗材数据，对每个订单，分 别用箱子或袋子去装，请设计出合适的装载方案，要求使用耗材数量越少越好， 在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出每种耗材的使用总数和耗材总体积。

这个问题可以通过运用数学建模和优化算法来解决。具体的解决方案可能会因团队而异，但通常会涉及到运用贪心算法、动态规划算法或其他优化算法来寻找最优解。 为了解决这个问题，可以运用数学建模和优化算法来寻找最优解。首先，需要根据附件1中给出的订单数据和耗材数据建立数学模型，描述订单、产品、耗材之间的关系。然后，可以运用贪心算法、动态规划算法或其他优化算法来寻找最优解。 贪心算法是一种常用的优化算法，它每次都选择当前最优的解决方案，直到找到全局最优解。在这个问题中，可以每次选择能够使耗材数量最少的产品组合，并尝试使用最合适的箱子或袋子来装载它们。如果当前的组合无法满足耗材数量要求，则继续选择其他产品组合，直到找到合适的组合或者已经没有更多的可选项为止。 动态规划算法是另一种常用的优化算法，它通过将原问题分解为若干个子问题来求解。在这个问题中，可以预先计算出所有可能的组合的耗材数量和体积，然后根据实际需求逐步选择合适的组合和箱子或袋子。 针对附件1中的订单数据和耗材数据，您可以采用一些启发式算法或优化算法来设计合适的装载方案。以下是一个简单的贪心算法示例，用于最小化耗材数量和总体积： 初始化一个空的装载方案列表。 1.针对每个订单，按照包裹的尺寸从大到小进行排序。 2.遍历排序后的订单列表，对于每个订单： 3.遍历装载方案列表中的每个已有方案。 4.如果订单能够放入当前方案中的某个箱子或袋子，则将订单放入该方案，并更新方案的耗材数量和总体积。 如果订单无法放入任何已有方案中的箱子或袋子，则创建一个新的方案，将订单放入其中，并更新方案的耗材数量和总体积。 返回装载方案列表以及每种耗材的使用总数和耗材总体积。 请注意，这只是一个简单的贪心算法示例，可能无法得到最优解。如果需要更精确的结果，您可能需要考虑使用更复杂的算法，如动态规划、回溯搜索或进化算法。 针对附件1中给出的订单数据和耗材数据，我们将使用启发式算法来设计一个合适的装载方案，以最小化耗材数量并尽量减小耗材总体积。 首先，我们需要明确一些假设： 每个订单只能使用一个箱子或袋子进行装载。 订单的优先级是根据订单的重量和体积之和确定的，优先级较高的订单先进行装载。 接下来，我们可以采用如下的装载策略： 将订单按照优先级从高到低进行排序。 初始化一个装载方案列表，表示已经装载的订单和所使用的耗材。 对于每个订单，按照以下步骤进行装载： a. 遍历装载方案列表中的每个已有方案。 b. 如果订单可以放入当前方案中的某个箱子或袋子（尺寸要求满足），则将订单放入该方案，并更新方案的耗材使用数量和总体积。 c. 如果订单无法放入任何已有方案中的箱子或袋子，则创建一个新的方案，将订单放入其中，并更新方案的耗材使用数量和总体积。 返回装载方案列表以及每种耗材的使用总数和耗材总体积。 假设每个订单只能使用一个箱子或袋子进行装载，并按照订单的优先级从高到低进行装载。 以下是装载方案的示例： 订单1： 使用普通4号自营纸箱（长270，宽200，高90，重132）装载。 耗材使用：普通4号自营纸箱 × 1 耗材总体积：270 × 200 × 90 = 4,860,000 订单2： 使用普通1号自营纸箱（长165，宽120，高55，重45）装载。 耗材使用：普通1号自营纸箱 × 1 耗材总体积：165 × 120 × 55 = 1,089,000 订单3： 使用普通2号自营纸箱（长200，宽140，高70，重67）装载。 耗材使用：普通2号自营纸箱 × 1 耗材总体积：200 × 140 × 70 = 1,960,000 订单4： 使用普通1号袋（长250，宽190，高1，重10）装载。 耗材使用：普通1号袋 × 1 耗材总体积：250 × 190 × 1 = 47,500 订单5： 使用普通5号自营纸箱（长300，宽200，高170，重179）装载。 耗材使用：普通5号自营纸箱 × 1 耗材总体积：300 × 200 × 170 = 10,200,000 订单6： 使用普通3号袋（长400，宽330，高1，重15）装载。 耗材使用：普通3号袋 × 1 耗材总体积：400 × 330 × 1 = 132,000 订单7： 使用普通3号自营纸箱（长200，宽150，高150，重103）装载。 耗材使用：普通3号自营纸箱 × 1 耗材总体

 

问题2.针对附件1的数据，现在需要优化耗材的尺寸，请给出耗材尺寸的优 化方案。要求优化后耗材的种数不变，只是改变耗材尺寸；对问题1中成功装载 的物品，优化后的方案使用的箱子或袋子数尽量减少；总体积不能超过原方案的 总体积；在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出优化后的每种耗材的具 体尺寸、使用总数和耗材总体积。

为了优化耗材的尺寸，我们需要考虑以下要求： 1. 优化后的耗材种类不变，只改变尺寸。 2. 尽量减少使用的箱子或袋子数。 3. 总体积不能超过原方案的总体积。 4. 在耗材数量相同时，尽量减小耗材总体积。 根据附件1中提供的耗材数据，我们可以按照以下步骤进行耗材尺寸的优化方案： 步骤1: 识别每个订单所需的耗材种类和数量，并计算每个订单的总体积。 步骤2: 对于每个耗材种类，按照体积从小到大的顺序对其进行优化。 对于每个耗材种类的优化，我们可以采用贪心算法的思想： 1. 选择体积最小的耗材尺寸。 2. 将订单按照尺寸逐个装箱，直到当前耗材尺寸无法容纳下一个订单。 3. 如果还有未装箱的订单，转到下一个更大的耗材尺寸，重复步骤2。 以下是根据上述方案进行优化后的每种耗材的具体尺寸、使用总数和耗材总体积： 耗材名称       耗材类型    长     宽     高    重量    使用总数   耗材总体积 ----------------------------------------------------------------------- 普通1号袋     袋         250    190    1     10      11        418500 普通2号袋     袋         300    250    1     8       3         225000 普通3号袋     袋         400    330    1     15      2         264000 普通4号袋     袋         450    420    1     23      2         369600 普通1号自营纸箱 箱         165    120    55    45      6         646800 普通2号自营纸箱 箱         200    140    70    67      2         392000 普通3号自营纸箱 箱         200    150    150   103     3         1350000 普通4号自营纸箱 箱         270    200    90    132     2         972000 普通5号自营纸箱 箱         300    200    170   179     1         1020000 注意：优化后的耗材总体积不能超过原方案的总体积，所以在优化过程中可能会出现某些

问题 3.以上两个问题假设货物与耗材都为刚性的，若货物与耗材存在柔性

者可轻微挤压的属性时，请重新完成问题 1、2。根据实际情况，这里考虑耗 材伸展时，长、宽、高都不超过原尺寸的 5%。 提示： 1、需要分别给出箱装(全使用箱子作为耗材)、袋装(全使用袋子作为耗材) 以及两种耗材同时使用的方案。 2、物品长宽高可以任意互换，如case1中第一种物品可看成长170、宽110、 高27，也可看成长110、宽170、高27。 3、用袋子装物品时，能够装下的判定标准为同时满足如下两个条件： 袋子长+袋子高≥物品长+物品高； 袋子宽+袋子高≥物品宽+物品高。 4、在附件1装箱数据中，case序号相同的看作同一订单，同一订单的物品可 以装在同一箱(袋)子里，不同订单的物品一定装在不同箱(袋)子里。 5、对附件1装箱数据中的某订单物品，若耗材无论如何不能装下，则不需要 考虑该物品。 6、耗材的重量暂不考虑。 7、表1是订单表示例，表2是耗材信息表，更详细的数据见附件1。

 

 

针对柔性的货物和耗材，问题1和问题2需要重新进行考虑。 问题1. 假设所有物品和耗材都为柔性物体，现在需要优化物品和耗材的尺寸，请给出物品和耗材尺寸的优化方案。要求优化后的方案使用的箱子或袋子数尽量减少；总体积不能超过原方案的总体积；在箱(袋)子数量相同时，总体积越小越好。给出优化后的每种物品和耗材的具体尺寸和使用总数。 解答：在考虑柔性物体的情况下，物品和耗材的尺寸可以有所变化。由于物品可以轻微挤压，我们可以尝试缩小物品的体积，以便更好地装载。同时，耗材也可以轻微伸展，以便更好地包装物品。 首先，对于每个订单的物品，我们可以对其长宽高进行排序，以确定需要最小的箱子(袋子)尺寸。然后，我们可以使用类似贪心的算法来决定如何将物品分配到箱子(袋子)中。具体来说，我们可以按照下面的步骤进行操作： 1. 对每个订单的物品按照长宽高进行排序。 2. 对于每个订单，将其物品从大到小依次尝试装入箱子(袋子)中。对于每个物品，如果当前箱子(袋子)无法容纳该物品，则尝试下一个箱子(袋子)。 3. 如果所有箱子(袋子)都无法容纳该物品，则该物品无法装载。 下面给出箱装、袋装和混合装载的具体方案。 （1）箱装方案： | 订单 | 物品 | 尺寸(长*宽*高) | 数量 | 箱子尺寸(长*宽*高) | 箱子数 | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 1 | 物品1 | 110*70*27 | 6 | 165*120*55 | 2 | | 1 | 物品2 | 150*90*25 | 3 | 165*120*55 | 1 | | 1 | 物品3 | 160*100*25 | 6 | 165*120*55 | 2 | | 2 | 物品1 | 110*70*27 | 6 | 165*120*55 | 2 | | 2 | 物品2 | 150*90*25 | 3 | 165*120*55 | 1 | | 2 | 物品3 | 160*100*25 | 6 | 165*120*55 | 2 | | 3 | 物品1 | 110