高中奥数 2021-06-10

2021-06-10-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P41 习题11）

给定正整数,求具有下列性质的正整数的最小值:把集合任意分成两个不相交的非空子集的并集,其中必有一个子集内含有个数（不要求它们互不相同）:,使.

解

若不具有题设性质,则存在的两个非空不相交的子集和使,并用(或)中任意个数(不要求互不相同)的各都不在(或)内.

不妨设,则(只要),从而(只要).

若,则,矛盾.

若,则(只要),但矛盾.

可见,当时,集合具有题设性质.

其次,对于集合,令,,则,.若,则,故.

若中至少有一个,则,故.

若,则,故.

可见,时,集合不具有题设条件.

所求的最小值为.

2021-06-10-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P41 习题13）

设为个正实数组成的集合,对的每个非空子集,令为中所有元素和.求证:集合可以分拆为个互不相交的子集,每个子集中最大数与最小数之比小于.

证明

设,且..令.

,.则是符合要求的分拆.

事实上,在中最大数与最小数都等于,结论显然.

当时,若,则在中;若,则.

2021-06-10-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P42 习题14）

试求所有正整数,使得集合可以分解为两个不相交的子集与,且使两集合中的元素之和相等.

证明

由为偶数,知.由此可知或.即与都不满足本题要求.

设,则.令,,易见,这样的和满足要求.

设,于是.因为为奇数,故有.不妨设,于是,.因而,中元素之和不小于,中元素之和不大于,故得.解得,.

当时,令,.

两集合中元素之和分别为,,.

再令,,则集合和即为满足题中要求的分解.

当时,我们将前个数分组如上,而将后面的个数中的每相邻4数按前面的办法处理即可得到所需要的分解.

综上可知,所求的所有的集合为.