动态规划之完全背包问题

完全背包问题

题目

有 $N$ 种物品和一个容量为 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第 $i$ 种物品的费用是$C_i$，价值是$W_i$。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品耗费的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

与01背包问题相似，唯一不同是每种物品有无限件。即从物品角度，相关策略从取或不取两种，变为取 0 件、取 1 件、取 2 件…直到取 $\lfloor V/C_i\rfloor$ 件。

按01背包思路，令 $F[i,v]$ 表示前 $i$ 种物品正好放入一个容量为 $v$ 的背包的最大价值。状态转移方程为：
$$F[i,v]=max\{F[i-1,v-k{C}_i]+k{W}_i|0\le k{C}_i\le v\}$$
和01一样共有 $O(VN)$ 个状态需求解，但解每个状态的时间不是常数了，解状态 $F[i,v]$ 的时间是 $O(v/C_i)$ ，总复杂度为 $O(NV\sum V/C_i)$ 。

优化

1. $O(N^2)$ 优化
   若物品 $i$ 、$j$ 满足 $C_i\le C_j$ 且 $W_i\ge W_j$ 可将物品j直接去除。

2. $O(V+N)$优化
   先将费用大于 $V$ 的物品去除，然后类似计数排序，计算出费用相同的物品中价值最高的物品。

转化为01背包问题求解

简单做法

可用把第 $i$ 种物品转化为 $\lfloor V/C_i\rfloor$ 件费用及价值都不变的物品，然后求解01背包。

更高效转化

把第 $i$ 种物品拆成费用为 $C_i{2}^k$ 、价值为 $W_i{2}^k$ 的若干件物品，其中 $k$ 是满足 $C_i{2}^k\le V$ 的非负整数，复杂度 $O(\log \lfloor V/C_i\rfloor )$ 。

模板

typedef long long ll;

void CompletePack(ll F[], ll C, ll W, ll Cap)
{
    for(int v = C; v <= Cap; v++)
        F[v] = max(F[v], F[v - C] + W);
}

ll Solve(const ll C[],const ll W[], const ll N, const ll Cap)
{
    ll F[Cap+1];
    memset(F,0,sizeof(F));

    //优化
    bool Use[N+1];
    
    // O(N^2)优化
    // memset(Use,true,sizeof(Use));
    // for(int i = 1; i <= N; i++)
    //     for(int k = i+1; k <= N; k++)
    //         if(C[i] <= C[k] && W[i] >= W[k])
    //             Use[k] = false;
    
    // O(V + N)优化
    memset(Use, false, sizeof(Use));
    map<ll, int> Cnt;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {      
        if(C[i] > Cap)
            continue;
        if(Cnt[C[i]] == 0)
            Cnt[C[i]] = i, Use[i] = true;
        else if(W[i] > W[Cnt[C[i]]])
            Use[Cnt[C[i]]] = false, Use[i] = true, Cnt[C[i]] = i;
    }

    for(int i=1; i <= N; i++)
        if(Use[i]) //优化
            CompletePack(F, C[i], W[i], Cap);
    
    return F[Cap];
}