曲线曲面基础：4.有理Bezier曲线

有理曲线和齐次坐标的概念，有理Bezier曲线是有理B样条曲线的特殊情况。
尽管多项式具有很多优点，但是有很多重要的曲线、曲面类型，如圆、椭圆、双曲线、圆柱面、圆锥面、球面等，无法精确地用多项式表达。例如，$xy$平面上圆心在原点的单位圆周无法用多项式坐标函数精确地表示。由经典数学可知，包括圆在内的所有二次曲线，都可以用有理函数（即两个多项式相除）来表示，事实上，他们可以用如下形式的有理函数来表示。

$x(u)=\frac{X(u)}{W(u)},y(u)=\frac{Y(u)}{W(u)}(1.13)$

其中，$X(u)$，$Y(u)$和$W(u)$为多项式，由（1.13）式可见，每个坐标函数都具有相同的分母。

圆心在原点、半径为1的圆可以表示为
$x(u)=\frac{1-u^2}{1+u^2},y(u)=\frac{2u}{1+u^2}$

中心在原点，长轴为$y$周、短轴为$x$轴，长、短半径分别为2和1的椭圆为
$x(u)=\frac{1-u^2}{1+u^2},y(u)=\frac{4u}{1+u^2}$

中心在$P=(0,4/3)$，横截轴（transverse axis）为$y$轴的双曲线可表示为
$x(u)=\frac{-1+2u}{1+2u-2u^2},y(u)=\frac{4u(1-u)}{1+2u-2u^2}$
其中，下面的那个分支（顶点为$P=(0,2/3)$）对应于$u\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$。

顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线可表示为
$x(u)=uy(u)=u^2$

$n$次有理Bezier曲线的定义为
$\mathbf{C}(u)=\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i{\mathbf{P}}_{\mathbf{i}}}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i},0⩽u⩽1(1.14)$

其中，$P_i=(x_i,y_i,z_i)$和$B_{i,n}(u)$同前，$w_i$是标量，称为权因子（weight）,于是分母$W(u)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}\left(u\right)w_i$是普通的标量函数，除特别声明外，我们假设对所有的$i$均有$w_i>0$。在此假设下，对所有的$u\in \left[\begin{array}{c}0,1\end{array}\right]$有$W(u)>0$。（1.14）式也可以写成
$\mathbf{C}(u)=\sum _{i=0}^n{R}_{i,n}(u){\mathbf{P}}_i,0⩽u⩽1(1,15)$
其中
$R_{i,n}(u)=\frac{w_i{B}_{i,n}(u)}{\sum _{j=0}^n{w}_j{B}_{j,n}(u)}$，$R_{i,n}(u)$是这种形式的曲线的有理基函数。

由（1.15）式和$B_{i,n}(u)$的性质容易得到$R_{i,n}(u)$具有如下性质：

• 非负性：$R_{i,n}(u)⩾0$，对所有的$i$，$n$和$0⩽u⩽1$。
• 规范性：$\sum _{i=0}^n{R}_{i,n}(u)=1$，对所有的$0⩽u⩽1$。
• 端点性质：$R_{0,n}(0)=R_{n,n}(1)=1$。
• 最大值$R_{i,n}(u)$在区间$[0,1]$内只达到最大值一次。
• 如果$w_i=1$对所有的$i$成立，则$R_{i,n}(u)=B_{i,n}(u)$，即$B_{i,n}(u)$是$R_{i,n}(u)$的特例。

由有理基函数的上述性质容易推导出有理Bezier曲线具有如下几何性质：

• 凸包性：曲线包含在定义它的控制点$\{P_i\}$的凸包内。
• 仿射变换不变性：对有理Bezier曲线进行旋转、平移和缩放变换，其表达形式不变，只是控制点发生了改变；新的控制点可以通过对原控制点作变换得到。即：要对有理Bezier曲线进行仿射变换，只需对其控制点作该变换即可。
• 变差减少性：和多项式Bezier曲线相同。
• 端点插值性：$C(0)=P_0$，$C(1)=P_n$。
• 在$u=0(u=1)$处的$k$阶导矢只依赖于开始的（最后的）$k+1$个控制点和权因子；特别地，$C^{\prime }(0)$和$C^{\prime }(1)$分别平行于$P_1-P_0$和$P_n-P_{n-1}$。
• 多项式Bezier曲线是有理Bezier曲线的特例。

坐标函数形如（1.13）式（即：具有相同的分母）的有理曲线具有一种很好的几何解释，因而可以对其进行高效的处理和紧凑的存储。其思想是利用齐次坐标，用$n+1$维空间中的多项式曲线来表示$n$维空间中的一条有理曲线。三维Euclidcan空间中的一个点$P=(x,y,z)$。采用齐次坐标，$P$可以用四维空间中的点$P^w=(wx,wy,xz,w)=(X,Y,Z,W)(w\ne 0)$来表示。$P$可由$P^w$的各个坐标分量除以第四个分量$W$得到，即：由原点出发将$P^w$映射到超平面$W=1$上。这个映射就是（投影）中心在原点的透视投影，我们将其记为$H$。于是
$\mathbf{P}=H\{{\mathbf{P}}^w\}=H\{(X,Y,Z,W)\}=\{\begin{array}{l}\left(\frac{X}{W},\frac{Y}{W},\frac{Z}{W}\right),W\ne 0\\ \text{direction}(X,Y,Z),W=0\end{array}(1.15)$
注意，对于任意$x,y,z,w_1,w_2,w_1\ne w_2$，
$\begin{array}{r}\\ H\left\{{\mathbf{p}}^{w_1}\right\}=H\{(w_{1}x,w_{1}y,w_{1}z,w_1)\}=(x,y,z)\\ =H\{(w_{2}x,w_{2}y,w_{2}z,w_2)\}=H\{{\mathbf{P}}^{u_2}\}\end{array}$
即：一个点的齐次坐标是不唯一的。

假设给定控制点$\{P_i\}$，权因子$\{w_i\}$，我们构造带权控制点$P_i^w=(w_i{x}_i,w_i{y}_i,w_i{z}_i,w_i)$，然后在四维空间中定义非有理（即多项式）Bezier曲线
${\mathbf{C}}^w(u)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u){\mathbf{P}}_i^w(1.17)$
将透视投影变换$H$应用于$C^w(u)$，即可得到（1.14）式中对应的有理Bezier曲线。事实上，写出（1.17）式的各个坐标函数，有
$x(u)=\frac{X(u)}{W(u)}=\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i{x}_i}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i}$

$y(u)=\frac{Y(u)}{W(u)}=\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i{y}_i}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i}$

$z(u)=\frac{Z(u)}{W(u)}=\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i{z}_i}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i}$

最后，写成矢量形式，有
$$\begin{gathered} \mathbf{C}(u)=\left(x(u),y(u),z(u)\right) \\ =\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i(x_i,y_i,z_i)}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i}=\frac{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i{P}_i}{\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u)w_i}(1.18) \end{gathered}$$
算法实现过程中主要采用（1.17)。因此，在四维空间中来处理有理曲线，最后，应用映射$H$得到三维空间的结果。

取固定的$u_0$，由于$C^w(u_0)$是多项式Bezier曲线，我们可以用deCasteljau算法来计算$C^w(u_0)$；然后，利用$\mathbf{C}(u_0)=H\{{\mathbf{C}}^u(u_0)\}$来计算$C(u_0)$。因此，对$\{P_i^w\}$应用（1.12）式，有
${\mathbf{P}}_{k,i}^w=(1-u_0){\mathbf{P}}_{k-1,i}^w+u_0{\mathbf{P}}_{k-1,i+1}^w,i=0,1,\cdots ,n-k;k=1,2,\cdots ,n(1.19)$

再考虑二维圆弧（第一象限的四分之一圆），有$P_0=(1,0)$，$P_1=(1,1)$，$P_2=(0,1)$，$w_0=1$，$w_1=1$，$w_2=2$。因此，（1.17）式中的三维控制点是${\mathbf{P}}_0^w=(1,0,1)$，${\mathbf{P}}_1^w=(1,1,1)$，${\mathbf{P}}_2^w=(0,2,2)$。于是${\mathbf{C}}^w(u)=(1-u{)}^2{\mathbf{P}}_0^w+2u(1-u){\mathbf{P}}_1^w+u^2{\mathbf{P}}_2^w$是三维空间中非有理的抛物线弧，将其投影到平面$W=1$上，即得到圆弧（第一象限的四分之一圆）。
圆弧$C(1/2)=(3/5,4/5)$并不是第一象限的四分之一圆弧的中点，即：参数化不是均匀的。由起点到$(3/5,4/5)$的弧长比整个弧长的一半要长。这在直观上是正确的，对圆弧$C(u)$求导，会发现在起点处的速率是终点处的两倍。