复杂系统学习（九）：Petri Nets I：基础

目录

1. Petri nets简介

1.1 网状结构的组成部分

1.2 网状结构

1.3 标识（Markings）

2. 初级网络系统

2.1 前序节点集和后序节点集​编辑

2.2 Enables的条件

2.3 Step rule

2.4 不确定的情况

2.5 热和冷的过渡

3. 总结

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1. Petri nets简介

一个Petri网由place、transition和弧（arc）组成。弧从一个place运行到一个transition，或者反之亦然，而不是在place之间或transition之间。弧从一个place跑到一个transition，被称为transition的输入地；弧从一个transition跑到的place被称为过渡的输出地。

从图形上看，Petri网中的place可以包含一个离散的标记（token）。标记在地方上的任何分布将代表网的一个配置，称为标记。在与Petri网图有关的抽象意义上，Petri网的一个过渡如果被启用，即在其所有的输入位置上有足够的标记，就可以启动；当过渡启动时，它消耗所需的输入标记，并在其输出位置创建标记。触发是原子性的，即是一个不可中断的单一步骤。

除非定义了执行策略（例如过渡的严格排序，描述优先级），否则Petri网的执行是不确定的：当多个过渡同时被启用时，它们将以任何顺序发射。

由于发射是不确定的，而且多个标记可能出现在网的任何地方（甚至在同一个地方），因此Petri网很适合为分布式系统的并发行为建模。

为什么需要Petri nets？

• 通常不可能预测一个递归函数的计算会消耗多少空间。
• 如果可用的资源不足以完成计算，进行递归计算的数据处理系统应该是可扩展的。
• 扩展一个系统比重新开始一个更大的系统更有效率。
• 如何描述一个可以无限扩展的系统架构？
• 这种可扩展系统的每一次扩展都扩大了系统的空间。
• 因此，这样一个可无限扩展的系统必须具有以下特征：没有中心部件；没有中央同步时钟。

Carl Adam Petri在他的论文《Kommunikation mit Automaten》[1]（与自动机的交流）中，展示了如何构建一个可无限扩展的异步系统架构。Petri系统是由本地封闭的组件组成，通过本地接口进行通信，执行具有本地因果关系的行动。后来，当Petri开始使用图形表示他的系统时，Petri nets一词才被创造出来。Petri nets是计算机科学中最流行的概念之一。

1.1 网状结构的组成部分

Petri网是一个有两类节点的有向图：places和transitions。

Place

• 一个palce 是一个被动的系统组件。
•  用图形表示为一个圆或椭圆。
•  一个palce有离散的状态，可以储存东西。

Transitions

• transition 是一个活跃的系统组件。
• 用图形表示为一个正方形或长方形。
• 一个过渡会消耗、生产或转移事物。

Arcs（前两个是系统组件，ARC不是系统组件）

• arc不是一个系统组件，而是一个系统组件之间的逻辑关系。
• 用图形表示为一个箭头。
• 一个arc把一个palce和一个transition联系起来，或者把一个transition和一个palce联系起来；因此，Petri net是一个有向二边形图。

1.2 网状结构

Place Set：

Transitions Set：

Arcs Set：

所有place和transition的笛卡尔积，F只能属于这个最大集。       

Places和Transitions是N的元素，F是N的flow relation。

1.3 标识（Markings）

标识是对系统状态的编码，是网状结构中各处tokens的排列。

Tokens

• Token可以代表现实世界中可以被消费、生产或转移的事物，并通过过渡来实现。
• 一个token可以表示一个过渡的发生所要满足的条件
• Token被放置在描述地点的圆圈和椭圆内，在图形上表示为黑点。
• 可以用一个符号标记代替黑点来指代一个具体的事物（例如 ）。

 初级网系统只使用黑点token（即token从它们所代表的事物的性质中抽象出来）。

2. 初级网络系统

一个初级网络系统是 

是初始时刻所有place的token的情况。

2.1 前序节点集和后序节点集

2.2 Enables的条件

2.3 Step rule

2.4 不确定的情况

如果我们选择右边的transition，

2.5 热和冷的过渡

到目前为止，我们假设一个启用的过渡最终会变成禁用，或者发生。 对于返回硬币(b)和c的转换来说，这确实是真实的，它们是系统内部的。 例如，投币口中的硬币最终会被转移到硬币库或被退回。 我们把这种转换称为热转换。然而，在现实世界中，插入硬币（a）和取走饼干（d）的转换是由顾客（外部系统）触发的，而且不能保证它们是否会发生。 我们把这种过渡称为冷过渡，并用B表示。冷过渡很少见，经常出现在与环境的接口处。

3. 总结

• Petri网为描述分布式系统（例如，分布式数据库和异步通信协议）提供了一种自然的形式主义。
• 一个Petri网描述了一个由组件组成的系统，这些组件执行具有本地原因和效果的行动。
• 一个网状结构描述了系统的被动和主动组件，以及组件之间的逻辑关系，是一个双点有向图。
• 一个网状系统是一个网状结构和一个代表系统当前状态的标记。
• 一个网状系统的几个过渡可以同时被启用，但只有一个被启用的过渡会被非确定性地选择发生。
• 一个过渡的发生会导致系统进入一个新的状态，这个状态是根据当前状态用确定性的步骤规则计算出来的。
• 在验证描述为Petri网的系统的形式属性（如可达性、有界性、有效性）方面有丰富的知识体系。